[논문 리뷰] Shape deformation analysis from the optimal control viewpoint

Sylvain Arguillère, Emmanuel Trélat외 2명|arXiv (Cornell University)|2014. 01. 03.

Medical Image Segmentation Techniques참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 재생 핵 힐버트 공간(RKHS) 내에서 시간에 따라 변화하는 벡터장에 의해 생성되는 변형을 포함하는 무한차원 최적제어 문제로 형태 변형 분석을 공식화한다. 폰트리아긴 최대원리의 적용을 통해 최적의 미분형 맵핑을 특징짓는 제약 조건이 있는 지오데식 방정식을 유도하며, 이는 의료 영상 및 계산 기반 해부학 분야에서 제약 조건이 있는 형태 매칭을 위한 통합적이고 수치적으로 효율적인 프레임워크를 가능하게 한다.

ABSTRACT

A crucial problem in shape deformation analysis is to determine a deformation of a given shape into another one, which is optimal for a certain cost. It has a number of applications in particular in medical imaging. In this article we provide a new general approach to shape deformation analysis, within the framework of optimal control theory, in which a deformation is represented as the flow of diffeomorphisms generated by time-dependent vector fields. Using reproducing kernel Hilbert spaces of vector fields, the general shape deformation analysis problem is specified as an infinite-dimensional optimal control problem with state and control constraints. In this problem, the states are diffeomorphisms and the controls are vector fields, both of them being subject to some constraints. The functional to be minimized is the sum of a first term defined as geometric norm of the control (kinetic energy of the deformation) and of a data attachment term providing a geometric distance to the target shape. This point of view has several advantages. First, it allows one to model general constrained shape analysis problems, which opens new issues in this field. Second, using an extension of the Pontryagin maximum principle, one can characterize the optimal solutions of the shape deformation problem in a very general way as the solutions of constrained geodesic equations. Finally, recasting general algorithms of optimal control into shape analysis yields new efficient numerical methods in shape deformation analysis. Overall, the optimal control point of view unifies and generalizes different theoretical and numerical approaches to shape deformation problems, and also allows us to design new approaches. The optimal control problems that result from this construction are infinite dimensional and involve some constraints, and thus are nonstandard. In this article we also provide a rigorous and complete analysis of the infinite-dimensional shape space problem with constraints and of its finite-dimensional approximations.

연구 동기 및 목표

• 최적제어 이론을 활용하여 형태 변형 분석을 위한 일반적이고 수학적으로 엄밀한 프레임워크를 개발하는 것.
• 이전에 다루지 않은 제약 조건이 있는 형태 매칭 문제를 상태 및 제어 제약 조건을 갖는 최적제어 공식화에 통합함으로써 해결하는 것.
• 기존의 계산 기반 해부학 및 LDDMM 접근법을 단일 제어 이론적 구조로 재구성함으로써 통합하는 것.
• 실제 수치적 구현을 위해 무한차원 최적제어 문제의 유한차원 근사를 제공하는 것.
• 무한차원 문제의 이론적 성질, 즉 존재성, 정규성, 근사의 수렴성을 분석하는 것.

제안 방법

• 형태 변형을 재생 핵 힐버트 공간(RKHS) 내에서 시간에 따라 변화하는 벡터장에 의해 생성되는 미분형의 흐름으로 표현한다.
• 상태(미분형)와 제어(벡터장)에 대한 제약 조건이 있는 무한차원 최적제어 문제로 형태 변형 문제를 모델링한다.
• 비용 기능을 벡터장의 운동 에너지(RKHS 노름)와 목표 형태에서의 편차를 측정하는 데이터 부착 항의 합으로 정의한다.
• 확장된 폰트리아진 최대원리를 적용하여 일阶 최적성 조건을 도출하고, 이는 형태 공간 내에서 제약 조건이 있는 지오데식 방정식으로 이어진다.
• 유한요소 기반 근사와 갈레르킨 유사 이산화를 통해 최적제어 문제의 수치적 해를 가능하게 한다.
• 제약 조건이 있는 최적화 문제를 해결하기 위해 증강 라그랑주 방법을 사용하며, 그라디언트 계산은 수반 시스템에서 유도된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제약 조건이 있는 형태 변형 문제는 어떻게 최적제어 프레임워크 내에서 체계적으로 공식화할 수 있는가?
• RQ2 변형 흐름에 제약 조건이 가해질 경우 최적 형태 변형을 위한 필수 최적성 조건은 무엇인가?
• RQ3 무한차원 최적제어 문제를 유한차원으로 엄밀하게 근사할 수 있는 방법은 무엇이며, 이때 수렴성을 어떻게 보장할 수 있는가?
• RQ4 RKHS 벡터장에 의해 유도되는 부분리만다 구조 하에서 결과 형태 공간의 기하학적 및 위상수학적 성질은 어떠한가?
• RQ5 예를 들어, 스티치된 제약 조건과 슬라이딩 제약 조건 등 다양한 제약 유형은 다중형태 매칭에서 변형의 정규성과 정확성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 최적제어 공식화는 제약 조건이 있는 형태 매칭을 포함한 다양한 형태 변형 문제에 대해 통합적인 접근를 가능하게 한다.
• 확장된 폰트리아진 최대원리의 적용은 형태 공간 내에서 최적 변형을 특징짓는 제약 조건이 있는 지오데식 방정식의 시스템을 도출한다.
• 수치 실험 결과, 이 방법은 부드럽고 물리적으로 타당한 변형을 생성하며, 경계 연속성 조건이 덜 엄격한 슬라이딩 제약 조건이 스티치된 제약 조건보다 더 높은 정규성을 보인다.
• 무한차원 문제의 유한차원 근사는 적절한 조건 하에서 수렴하며, 배경 영역 및 형태 영역의 커널 폭이 변형의 정규성에 크게 영향을 미친다.
• 이 방법은 삼각형 메esh로 표현된 고차원 형태로 일반화 가능하며, 근육 유사 변형을 모델링하기 위한 2차 제어 시스템으로도 확장 가능하다.
• 이 프레임워크는 무한차원 제어 이론에서 새로운 과제를 드러내며, 특히 수평 공간의 닫힘 성질 결여와 제약 조건 사상의 전사성 실패와 같은 문제들이 아직도 미래 연구를 위한 열린 문제로 남아 있다.