[논문 리뷰] Shape Derivative for Penalty-Constrained Nonsmooth-Nonconvex Optimization: Cohesive Crack Problem

Victor A. Kovtunenko, Karl Kunisch|arXiv (Cornell University)|2022. 04. 10.

Contact Mechanics and Variational Inequalities참고 문헌 56인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 쿼asi브rittile 파손을 모델링하는 변분부등식으로 기술되는 점착 균열을 갖는 비연속적이고 비凸인 최적화 문제에 대한 형태 도함수 공식을 개발한다. 라브레니에프 정규화와 라그랑주 승수 방법을 사용하여, 원시 상태와 인접 상태를 포함하는 형태 도함수에 대한 명시적인 해석적 표현을 유도함으로써, 수치 실험에서 23%의 형태 오차로 수렴하는 레벨셋 유사 알고리즘을 통한 경계 측정치로부터의 균열 형상 식별을 가능하게 한다.

ABSTRACT

A class of non-smooth and non-convex optimization problems with penalty constraints linked to variational inequalities (VI) is studied with respect to its shape differentiability. The specific problem stemming from quasi-brittle fracture describes an elastic body with a Barenblatt cohesive crack under the inequality condition of non-penetration at the crack faces. Based on the Lagrange approach and using smooth penalization with the Lavrentiev regularization, a formula for the shape derivative is derived. The explicit formula contains both primal and adjoint states and is useful for finding descent directions for a gradient algorithm to identify an optimal crack shape from a boundary measurement. Numerical examples of destructive testing are presented in 2D.

연구 동기 및 목표

• 비연속적이고 비凸인 파손 문제에서 비침투 조건을 갖는 형태 최적화 문제에 도전하는 것.
• 경계 측정치 기반 최소제곱 오차 기능에 기반한 형태 미분 가능 공식을 개발하는 것.
• 벌점된 변분부등식 모델을 사용하여 쿼اسي브rittile 파손에서의 균열 형상 식별을 위한 경량 기반 최적화를 가능하게 하는 것.
• 역균열 탐지 알고리즘에 활용 가능한 수치적으로 구현 가능한 형태 도함수 공식을 제공하는 것.

제안 방법

• 바렌블라트 균열 모델에서 비연속적인 점착 에너지 항을 C2-연속적인 근사로 구성하기 위해 라브레니에프 정규화를 사용한다.
• 부드러운 법선 침투 저항을 사용한 벌점 방법을 적용하여 비침투 조건을 강제함으로써, 원래의 변분부등식을 미분 가능한 시스템으로 대체한다.
• 라그랑주 프레임워크를 통해 형태 도함수를 유도하며, 원시 상태와 인접 상태 변수를 도입한다.
• 형태 도함수를 원시 상태와 인접 상태를 포함하는 경계 적분의 합으로 설정하며, 균열 표면에서의 속도 장에 대한 명시적 표현을 제공한다.
• 일차 및 인접 방정식의 유한요소 이산화를 구현하며, 일차 선형 요소와 일관된 적분을 사용한다.
• 형태 도함수를 사용하여 반복적으로 균열 표면을 업데이트하는 강하 알고리즘을 제안하며, 경계에서의 동적 스케일링과 속도 투영을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 점착 균열을 모델링하는 변분부등식으로 제약된 비연속적이고 비凸인 최적화 문제에 대해 형태 도함수를 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ2 에너지 기능의 C2-연속성을 보장하면서도 점착 균열 모델의 물리적 일관성을 유지하는 데 어떤 정규화 기법이 사용되는가?
• RQ3 경량 기반 최적화를 위해 인접 기반 형태 도함수를 원시 상태와 인접 상태의 관점에서 명시적으로 어떻게 공식화할 수 있는가?
• RQ4 유도된 형태 도함수로 인해 파손 물리 분석 환경에서 경계 측정치로부터 균열 표면을 얼마나 정확하게 식별할 수 있는가?

주요 결과

• 형태 도함수가 원시 상태와 인접 상태를 포함하는 경계 적분 형태로 닫힌 해로 유도되어 효율적인 기울기 계산이 가능해졌다.
• 수치 결과에 따르면, 인장력이 균열을 완전히 개방시키는 조건에서 200회 반복 후 형태 오차 비율이 23%에 도달하였다.
• 작은 벌점 매개변수 ε = 1e−8 조건에서 목적 함수 비율이 초기 값의 0.25%로 감소하여 강한 수렴성을 보였다.
• 알고리즘이 균열의 비접촉 부분에서 가장 잘 작동했으며, 약한 하중 조건에서는 접촉/점착 영역이 잘 갱신되지 않았다.
• 균열을 완전히 개방시키기 위해 인장력을 증가시키면 전체 균열 표면의 복원이 향상되어 형태 오차가 23%로 감소하였으며, 약한 하중 조건에서는 46%로 더 높았다.