[논문 리뷰] Sharp Estimates of Logarithmic Coefficients for a Certain Class of Starlike Functions

Molla Basir Ahamed, Sanju Mandal|arXiv (Cornell University)|2026. 03. 08.

Analytic and geometric function theory인용 수 0

한 줄 요약

본 논문은 hyperbolic cosine과 관련된 Ma-Minda 별형 클래스 S*_{ch}에 대해 초기 및 역 로그계수와 두 번째 Hankel 행렬식에 대한 예리한 경계를 도출하고, 극값 함수들을 통해 예리함을 확인한다.

ABSTRACT

In this article, we investigate the extremal properties of logarithmic coefficients for the class $\mathcal{S}_{ch}^*$ of starlike functions associated with the hyperbolic cosine function. We establish the sharp upper bounds for the initial logarithmic coefficients $γ_n$ for $n=1, 2, 3$, and determine the precise bound for the second Hankel determinant $H_{2,1}(F_f/2)$ within this class. Furthermore, we extend our analysis to the inverse functions, deriving sharp estimates for the logarithmic inverse coefficients and the corresponding second Hankel determinant $|H_{2,1}(F_{f^{-1}}/2)|$. Additionally, we provide sharp bounds for the moduli differences of both logarithmic and inverse logarithmic coefficients. The sharpness of all obtained inequalities is verified through the construction of specific extremal functions.

연구 동기 및 목표

• f ∈ S*_{ch}(z + cosh z와 관련된 별형 함수)에 대해 로그계수 γ_n(n = 1,2,3)의 예리한 경계를 특징화한다.
• S*_{ch} 내에서 두 번째 Hankel 결정자 H_{2,1}(F_f/2)의 예리한 경계를 결정한다.
• 역함수에 대해 분석을 확장하여 역 로그계수 Γ_n과 대응하는 H_{2,1}(F_{f^{-1}}/2)의 예리한 경계를 얻는다.
• 로그 및 역 로그 계수의 모듈러스 차이에 대한 예리한 경계를 제공한다.

제안 방법

• f ∈ S*_{ch}를 φ_0(z)=z+cosh z와의 서브오디네이션 및 Re p > 0인 Carathéodory 함수 p ∈ P로 표현한다.
• p의 계수 c_n에 대한 Libera–Zlotkiewicz 모수화를 사용하여 a_n과 c_n 사이의 명시적 관계를 도출한다.
• a_2, a_3, a_4로부터 γ_n을 계산하고 Carathéodory 함수의 렘마(제한치 c_1, c_2, c_3의 경계) 및 Hankel 결정자 표현에 대한 렘마를 사용하여 경계한다.
• 상태 제약에서 c_1, c_2, c_3를 이용해 F_f/2의 H_{2,1}(를 도출하고 최적화한다(렘마 2.1–2.4의 제약 하에서).
• 역함수에 대해서는 Γ_n을 a_n과 연관시키고 역으로 F_{f^{-1}}/2의 H_{2,1}를 동일한 방식으로 경계한다.
• 극값 함수 f_1, f_2, f_3를 구성하여 예리성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 f ∈ S*_{ch}에 대해 |γ_n|의 예리한 상한은 무엇인가(n = 1,2,3)?
• RQ2 f ∈ S*_{ch}에서 f의 두 번째 Hankel 결정자 H_{2,1}(F_f/2)의 예리한 경계는 무엇인가?
• RQ3 f ∈ S*_{ch}에서 역 로그계수 Γ_n의 예리한 경계는 무엇인가?
• RQ4 S*_{ch}의 역함수에 대한 두 번째 Hankel 결정자 |H_{2,1}(F_{f^{-1}}/2)|의 예리한 경계는 무엇인가?
• RQ5 로그 및 역 로그 계수의 모듈러스 차이 |γ_{n+1}|−|γ_n| 및 그 역함수의 대응에 대해 균일한 예리한 경계가 존재하는가?

주요 결과

• f ∈ S*_{ch}에 대해 예리한 경계는 |γ_n| ≤ 1/(2n) (n = 1,2,3)이다.
• 두 번째 로그- Hankel 결정자는 |H_{2,1}(F_f/2)| ≤ 1/16이며, 예리성은 f_2로 보인다.
• 역함수의 경우 예리한 경계는 |Γ_1| ≤ 1/2 및 |Γ_2| ≤ 3/8이며, 예리성은 f_1로 달성된다.
• 역 로그 계수의 두 번째 Hankel 결정자는 |H_{2,1}(F_{f^{-1}}/2)| ≤ 3/44이며, 예리성이 확립된다.
• 극값 함수 f_1, f_2, f_3가 위 경계들에 대한 예리성을 입증한다.
• 논문은 로그 및 역 로그 계수의 모듈러스 차이에 대한 예리한 경계도 제공하며(본문에 자세한 경계가 제시됨).