[논문 리뷰] Sharp interface limit for stochastically perturbed mass conserving Allen-Cahn equation

Tadahisa Funaki, Satoshi Yokoyama|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 05.

Stochastic processes and statistical mechanics인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 질량을 보존하는 스토케스틱 편미분 방정식에 대한 날카로운 경계 조건 극한을 확립하며, 비국소적 소음에 의해 구동되는 평균 곡률 흐름으로의 수렴을 보여준다. 저자들은 발산하는 소음 항을 다루기 위해 새로운 점근 전개 방법을 개발하여, 제한된 스토케스틱 PDE에 대해 경로별 유일성과 강한 해의 존재를 증명한다.

ABSTRACT

This paper studies the sharp interface limit for a mass conserving Allen-Cahn equation added an external noise and derives a stochastically perturbed mass conserving mean curvature flow in the limit. The stochastic term destroys the precise conservation law, instead the total mass changes like a Brownian motion in time. For our equation, the comparison argument does not work, so that to study the limit we adopt the asymptotic expansion method, which extends that for deterministic equations used in Chen et al. [3]. Differently from the deterministic case, each term except the leading term appearing in the expansion of the solution in a small parameter $ε$ diverges as $ε$ tends to $0$, since our equation contains the noise which converges to a white noise and the products or the powers of the white noise diverge. To derive the error estimate for our asymptotic expansion, we need to establish the Schauder estimate for a diffusion operator with coefficients determined from higher order derivatives of the noise and their powers. We show that one can choose the noise sufficiently mild in such a manner that it converges to the white noise and at the same time its diverging speed is slow enough for establishing a necessary error estimate.

연구 동기 및 목표

• 유계 영역 내에서 스토케스틱적으로 왜곡된 질량 보존 앨런-초우 방정식의 날카로운 경계 조건 극한을 유도하는 것.
• 질량 보존과 스토케스틱 소음으로 인해 비교 원리의 붕괴를 극복하는 것.
• 발산하는 소음 항이 존재하는 상황에서 점근 전개에 대한 엄밀한 오차 추정을 수립하는 것.
• 제한된 스토케스틱 평균 곡률 흐름에 대해 경로별 유일성과 강한 해의 존재를 증명하는 것.

제안 방법

• 소수 파arameter ε에 대한 점근 전개 방법을 채택하여, 결정론적 접근을 스토케스틱 소음을 다룰 수 있도록 확장한다.
• 백색 소음의 곱과 거듭제곱에서 발생하는 발산 항을 제어하기 위해 소음이 충분히 천천히 백색 소음으로 수렴한다고 가정한다.
• 고차 도함수를 포함한 소음의 계수를 갖는 확산 연산자에 대한 새로운 샤페르 유형 추정을 수립한다.
• 이토의 공식과 그론발의 부등식을 사용하여 컴팩트 곡선 위에서 제한된 스토케스틱 PDE에 대해 경로별 유일성을 증명한다.
• 스토케스틱 진화 방정식을 비국소적 다중선형 소음과 곡률에 의존하는 비선형 항을 갖는 이토 형태로 변환한다.
• 무한차원에서의 야마다-와타나베 정리를 적용하여, 경로별 유일성과 약한 해 존재성으로부터 강한 해 존재성을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ε → 0일 때, 스토케스틱적으로 왜곡된 질량 보존 앨런-초우 방정식의 날카로운 경계 조건 극한은 어떻게 행동하는가?
• RQ2 질량 보존과 다중선형 소음이 동시에 존재할 경우 표준 비교 논증이 실패하는 이유는 무엇인가?
• RQ3 백색 소음과 그 도함수에서 발생하는 발산 소음 항을 제어하기 위해 점근 전개 방법을 어떻게 적응시킬 수 있는가?
• RQ4 제한된 스토케스틱 평균 곡률 흐름의 구조는 어떠한가, 그리고 유일한 강한 해를 갖는가?
• RQ5 소음은 질량 보존 법칙에 어떤 영향을 미치며, 그 스토케스틱 성격은 무엇인가?

주요 결과

• ε → 0일 때, 스토케스틱 질량 보존 앨런-초우 방정식의 해는 이동하는 초곡면 γₜ의 특성 함수로 수렴한다.
• 제한된 역학은 비국소적 다중선형 소음 항을 포함한 스토케스틱적으로 왜곡된 평균 곡률 흐름에 의해 지배된다.
• 소음 항은 총 질량이 브라운 운동처럼 진동하게 하여 정확한 보존을 위반한다.
• 두 차원 영역에서 정지 시간 σ > 0 거의 확실히 국소적인 강한 해가 제한된 SPDE에 존재한다.
• 곡률 및 그 도함수의 유계성 조건 하에서 이토의 공식과 그론발 부등식을 통해 경로별 유일성이 확립된다.
• 고차 도함수를 포함한 소음의 계수를 갖는 확산 연산자에 대해 새로운 샤페르 추정이 유도되었으며, 이는 점근 전개에서 오차 제어를 가능하게 한다.