[논문 리뷰] Sharp pointwise-in-time error estimate of L1 scheme for nonlinear subdiffusion equations

Dongfang Li, Hongyu Qin외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 12.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 17인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 시간 분수 차수의 캐프토 차분 방정식에 적용된 L1 스킴에 대한 날카운 점별 시간 오차 추정을 수립한다. 일반적인 해의 정규성 $\sigma \in (0,1) \cup (1,2)$ 하에서 보다 정교한 이산 분수형 그로넬랄 부등식을 도입하고, 잘린 오차를 엄밀히 분석함으로써 최적 수렴 속도를 증명한다: $\sigma < \alpha$ 일 때 $\mathcal{O}(\tau^{\sigma+1-\alpha} t_n^{\alpha-1})$ 이고, $\sigma = \alpha$ 일 때 $\mathcal{O}(\tau t_n^{\alpha-1})$ 이다. 이는 수치 실험을 통해 확인되었다.

ABSTRACT

An essential feature of the subdiffusion equations with the $α$-order time fractional derivative is the weak singularity at the initial time. The weak regularity of the solution is usually characterized by a regularity parameter $σ\in (0,1)\cup(1,2)$. Under this general regularity assumption, we here obtain the pointwise-in-time error estimate of the widely used L1 scheme for nonlinear subdiffusion equations. To the end, we present a refined discrete fractional-type Grönwall inequality and a rigorous analysis for the truncation errors. Numerical experiments are provided to demonstrate the effectiveness of our theoretical analysis.

연구 동기 및 목표

• 비선형 부분확산 방정식에 대해 $\alpha$차 시간 분수 도함수를 갖는 L1 스킴의 날카운 점별 시간 오차 추정을 수립하기 위해.
• 시간 $t=0$ 에서 약한 특이성을 가지는 비연속적인 해 문제에 대응하기 위해, 정규성 매개변수 $\sigma \in (0,1) \cup (1,2)$ 로 특징지어지는 문제에 대해.
• 이산 컨볼루션에서 변동하는 잘린 오차와 비선형성으로 인한 비단조화 오차 진동으로 인해 발생하는 곤경을 해결하기 위해.
• 일반적인 정규성 가정 하에 비선형 부분확산 문제에서 L1 스킴에 대한 첫 번째 엄밀한 점별 오차 분석을 제공하기 위해.
• 이론적 결과를 다양한 수치 실험을 통해 검증하여 이론적 예측과 일치하는 수렴 차수를 보여주기 위해.

제안 방법

• 도메인 $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ 에서 캐프토 시간 도함수 $\partial_t^\alpha u - \Delta u = f(u)$ 를 갖는 비선형 부분확산 문제를 수립한다.
• 시간 이산화에 대해 균일한 시간 메esh를 사용하고, 시간에 대한 L1 스킴을 적용하며, 공간 도함수에는 중심 유한차분을 사용한다.
• 약한 해의 정규성 하에서 오차 전파를 제어하기 위해 정교한 이산 분수형 그로넬랄 부등식을 개발한다.
• 해의 비연속성으로 인한 시간 수준 의존성에 대응하기 위해, 시간에 따라 변하는 잘린 오차 분석을 수행한다.
• 에너지 유사 추정과 새로운 그로넬랄 부등식을 조합하여 최대 노름에서의 점별 시간 오차 한계를 유도한다.
• 다양한 $\sigma$, $\alpha$, 메쉬 크기에서의 수치 실험을 통해 이론적 결과를 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 해의 정규성이 $\sigma \in (0,1) \cup (1,2)$ 로 특징지어지는 경우, 비선형 부분확산 방정식에 대해 L1 스킴의 날카운 점별 시간 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ2 비단조화 오차 진동과 L1 스킴에서 변동하는 잘린 오차를 다룰 수 있는 정교한 이산 분수형 그로넬랄 부등식을 구성할 수 있는가?
• RQ3 시간 $t \to 0$ 과 최종 시간 $T$ 에서 시간 수렴 차수는 어떻게 행동하는가? 특히 $\sigma < \alpha$ 일 경우에 대해.
• RQ4 선형 문제와 동일한 정규성 조건 하에서 비선형 부분확산 문제에 대해 L1 스킴이 최적 수렴을 달성하는가?
• RQ5 이론적 수렴 차수는 다양한 공간 차원과 비선형성에서 수치 실험을 통해 확인되는가?

주요 결과

• $\sigma \in (0,\alpha)$ 일 때, 점별 시간 오차는 $\|u^n - U^n\|_{\infty} \lesssim \tau^{\sigma+1-\alpha} t_n^{\alpha-1} + t_n^{\alpha} h^2$ 로 유계이며, 이는 선형 문제에 대해서조차 처음으로 제시된 추정이다.
• $\sigma = \alpha$ 일 때, 오차 추정은 $\|u^n - U^n\|_{\infty} \lesssim \tau t_n^{\alpha-1} + t_n^{\alpha} h^2$ 로, 비선형 부분확산 방정식에 대해 처음으로 날카운 점별 추정을 수립한다.
• 수치 실험은 $t_n \to 0$ 에서의 시간 수렴 차수가 $\sigma < 1$ 일 경우 $\sigma$ 이고, $\sigma = \alpha$ 일 경우 $\alpha$ 임을 확인하며, 이는 이론적 예측과 일치한다.
• 최종 시간 $t_N = T$ 에서, $\sigma < 1$ 일 경우 수렴 차수는 $\sigma + 1 - \alpha$ 로 수렴하고, $1 < \sigma < 2$ 일 경우 $2 - \alpha$ 로 수렴하며, 이는 이론과 일치한다.
• 공간 수렴 차수는 일관되게 $2$ 로 나타나, 중심 유한차분 스킴의 기대되는 이차 정확도를 확인한다.
• 정교한 이산 분수형 그로넬랄 부등식은 오차 누적 제어에 필수적이며, 약한 정규성 조건 하에서 날카운 오차 추정을 가능하게 한다.