[논문 리뷰] Sharp weighted Sobolev trace inequalities and fractional powers of the Laplacian

Jeffrey S. Case|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 28.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 29인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 유클리드 상반평면에서 분수계수 라플라스 연산자의 경우에 대해 날카로운 가중치가 부여된 소볼레프 경계 부등식을 확립한다. 이는 Caffarelli-Silvestre 확장을 모든 비정수 차수 γ ∈ (0, ∞) ∕ N 으로 일반화함으로써 이루어지며, 가중치가 부여된 GJMS 연산자와 관련된 고차수의 불연속 타입 타원형 경계 문제를 통해 일반화된 딜리클레-뉴먼 연산자를 도입한다. 이 연산자를 통해 분수계수 라플라스 연산자 (−∆)^γ 는 ∆^{k+1}_m U = 0 이고 m = 1 − 2[γ] 인 해의 경계 자료로부터 복원 가능하며, 딜리클레 원리와 날카로운 분수계수 소볼레프 부등식을 통해 명시적이고 최적의 상수를 가진 날카로운 부등식을 유도한다.

ABSTRACT

We establish a family of sharp Sobolev trace inequalities involving the $W^{k,2}(\mathbb{R}_+^{n+1},y^a)$-norm. These inequalities are closely related to the realization of fractional powers of the Laplacian on $\mathbb{R}^n=\partial\mathbb{R}_+^{n+1}$ as generalized Dirichlet-to-Neumann operators associated to powers of the weighted Laplacian in upper half space, generalizing observations of Caffarelli--Silvestre and of Yang.

연구 동기 및 목표

• 라플라스 연산자의 모든 비정수 분수계수 γ ∈ (0, ∞) \ N 에 대해 Caffarelli-Silvestre 확장을 일반화한다.
• 상반평면에서 가중치가 부여된 GJMS 연산자와 관련된 일반화된 딜리클레-뉴먼 연산자를 구성하여, 고차수의 불연속 타입 타원형 미분방정식의 해의 경계 자료를 통해 (−∆)^γ 를 복원한다.
• W^{⌊γ⌋+1,2}(R^{n+1}_+, y^{1−2[γ]}) ֒→ ⊕H^{γ−2j}(R^n) ⊕ H^{⌊γ⌋−[γ]−2j}(R^n) 임베딩에 대한 날카로운 가중치가 부여된 소볼레프 경계 부등식을 유도하며, 명시적이고 최적의 상수를 포함한다.
• 경계 연산자와 관련된 에너지 함수형의 등각 대칭성을 확립한다.
• 부등식에서 등호가 성립하는 경우는 오직 특정한 등각 불변 프로파일 함수를 가진 일반화된 확장 문제로부터 유래된 해일 때에만 성립함을 증명한다.

제안 방법

• ∆, ∂_y, 및 R^n 상의 ∆ 를 포함하는 미분 연산자를 통해 B_{2γ}^{2j} 및 B_{2γ}^{2[γ]+2j} 를 재귀적으로 정의하며, 대칭성과 등각 대칭성을 확보한다.
• E_{2γ}(U) := Q_{2γ}(U,U) 라 정의된 딜리클레 에너지 함수를 도입하며, 여기서 Q_{2γ} 는 m = 1 − 2[γ] 인 가중치가 부여된 GJMS 연산자 ∆_m^{k+1} 과 관련된 이차형식이다. 그리고 고정된 경계 자료를 가진 함수의 약간의 부류에서의 엄격한 볼록성을 증명한다.
• 일반화된 딜리클레 원리 증명: 고정된 경계 자료 B_{2γ}^{2j}(U) = f^{(2j)} 및 B_{2γ}^{2[γ]+2j}(U) = φ^{(2j)} 를 가진 함수들 중에서 에너지 E_{2γ}(U) 는 고차수의 불연속 타입 타원형 문제 ∆_m^{k+1}U = 0 의 유일한 해 U_D 에서 최소화된다.
• 날카로운 분수계수 소볼레프 부등식 (Lieb, 1983) 과 날카로운 Onofri 부등식을 사용하여 에너지 하한에서 최적의 L^p 경계 부등식을 도출한다.
• R^{n+1}_+ 의 등각 군이 R^n 을 고정하는 조건 하에서 경계 연산자와 에너지 형식의 등각 대칭성을 확립한다.
• 감마 함수와 조합 계수를 사용하여 날카로운 부등식의 상수에 대한 명시적 공식을 도출하고, 등각 불변성과 알려진 최적 함수를 통해 등호 조건을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비정수 γ ∈ (0, ∞) \ N 인 분수계수 라플라스 연산자 (−∆)^γ 는 상반평면에서 일반화된 딜리클레-뉴먼 연산자로 어떻게 표현될 수 있는가?
• RQ2 (−∆)^γ 를 실현하고, 불필요한 경계 조건을 도입하지 않고 날카로운 소볼레프 경계 부등식을 도출할 수 있는 고차수의 불연속 타입 경계값 문제는 무엇인가?
• RQ3 m = 1 − 2[γ] 일 때, W^{k,2}(R^{n+1}_+, y^m) 에서의 가중치가 부여된 소볼레프 경계 부등식의 최적 상수는 무엇인가?
• RQ4 경계 연산자와 에너지 형식의 등각 대칭성은 분수계수 라플라스 연산자의 등각 불변성과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 날카로운 경계 부등식에서 등호가 성립하는 명시적 최적 함수는 무엇인가?

주요 결과

• 모든 비정수 γ ∈ (0, ∞) \ N 에 대해, (−∆)^γ 는 m = 1 − 2[γ] 이고 k = ⌊γ⌋ + 1 인 ∆_m^{k+1}U = 0 의 해 U 의 경계 자료 B_{2γ}^{2γ−2j}(U) 를 통해 일반화된 딜리클레-뉴먼 연산자로서 복원된다.
• W^{⌊γ⌋+1,2}(R^{n+1}_+, y^{1−2[γ]}) ֒→ ⊕_{j=0}^{⌊γ/2⌋} H^{γ−2j}(R^n) ⊕ ⊕_{j=0}^{⌊γ⌋−⌊γ/2⌋−1} H^{⌊γ⌋−[γ]−2j}(R^n) 임베딩에 대한 날카로운 가중치가 부여된 소볼레프 경계 부등식이 유도되었으며, 이는 감마 함수와 Vol(S^n) 를 포함한 최적 상수를 가진다.
• 부등식에서 등호가 성립하는 것은 오직 U 가 특정한 등각 불변 프로파일 함수를 가진 일반화된 확장 문제의 유일한 해일 때에만 성립한다. 경계 자료는 f^{(2j)}(x) = a_j (ε_j + |x−ξ_j|^2)^{-(n−2γ+4j)/2} 및 φ^{(2j)}(x) = b_j (ε'_j + |x−ζ_j|^2)^{-(n−2⌊γ⌋+2[γ]+4j)/2} 이다.
• 고차수 경계 자료가 0인 함수에 대해 E_{2γ}(U) ≥ c_γ ∫_{R^n} f(−∆)^γ f dx 라는 부등식의 최적 상수는 c_γ = (−1)^{1+⌊γ⌋} 2^{1−2[γ]} ⌊γ⌋! γ Γ(−γ)/Γ([γ]) 이며, 등호는 U 가 일반화된 확장 문제 (6.2) 를 만족할 때에만 성립한다.
• L^{2n/(n−2γ)} 경계 부등식의 최적 상수는 Vol(S^n)^{2γ/n} Γ((n+2γ)/2)/Γ((n−2γ)/2) 곱하기 조합 계수를 포함하며, Lieb 의 날카로운 분수계수 소볼레프 부등식과 일치한다.
• 일반화된 확장 문제 (6.2) 는 lim_{y→0} y^{1−2[γ]} ∂_y ∆_m^{⌊γ⌋} U 를 통해 (−∆)^γ f 를 복원하며, 상수 2^{1−2[γ]} ⌊γ⌋! γ Γ(−γ)/Γ([γ]) 는 명시적으로 유도되었다.