[논문 리뷰] Sharpening "Primes is in P" for a large family of numbers

Pedro Berrizbeitia|ArXiv.org|2002. 11. 20.

Analytic Number Theory Research인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 (a|n) = −1을 만족하는 주어진 a가 있는 n ≡ 1 (mod 4) 정수와 (a|n) = (1−a|n) = −1을 만족하는 주어진 a가 있는 n ≡ −1 (mod 4) 정수에 대한 결정론적 소수 판별법을 제시한다. 알고리즘들은 유한체 내의 대수적 구조를 활용하고, (n, x^{2s} − a) 모듈로의 단항합동식을 통해 검증 복잡도를 감소시켜, k = ν₂(n−1) 또는 ν₂(n+1)가 2 log log n를 초과할 경우 최대 ˜O(log n)^4 시간을 달성하며, 유리한 경우 AKS 알고리즘의 ˜O(log n)^12 런타임에 비해 크게 향상된다.

ABSTRACT

We give Deterministic Primality tests for large families of numbers. These tests were inspired in the recent and celebrated Agrawal-Kayal-Saxena (AKS) test. The AKS test has proved polynomial complexity O ((log n)^12) and they expect it to be O ((log n)^6) . Our tests have proved complexity O ((log n)^6). The complexity decreases to O ((log n)^4) as the power of 2 dividing n + 1 or n - 1 increases. On large enough primes, our tests, in their worst case, run at least 2^9 times faster than the AKS test.

연구 동기 및 목표

• AKS 알고리즘보다 더 빠른 결정론적 소수 판별법을 밀도가 높고 큰 수의 가족에 대해 개발하기.
• AKS의 높은 다항식 차수의 한계를 보완하기 위해 ν₂(n±1)가 클 경우 수의 구조적 성질을 활용하기.
• Proth 및 Lucas-Lehmer 테스트와 같은 기존 테스트를 일반화하고 개선하기 위해 ν₂(n−1) 또는 ν₂(n+1)에 대한 요구 조건을 완화하기.
• 유한체 내의 자기동형사상과 단항대칭을 활용해 다항식 합동식 검증 횟수를 줄이기.
• 2-adic 값매김 k = ν₂(n−1) 또는 ν₂(n+1)에 따라 복잡도를 적응적으로 조정하는 프레임워크를 제공하여, k가 클 경우 근사 최적 성능을 달성하기.

제안 방법

• s = ⌈2 log log n⌉일 때, AKS 스타일의 (m + x)^n ≡ m + x^n (mod n, x^r − 1) 대신 (1 + mx)^n ≡ 1 + mx^n (mod n, x^{2s} − a)의 단항합동식을 사용하기.
• 유한체의 자기동형사상이 단항식의 구조를 유지함을 활용해, 필요한 m 값의 수를 2√r log n에서 2^{max(s−k,0)}로 감소시키기.
• 갈루아 자기동형사상에 의해 1 + mx^n의 공액이 동일한 합동식을 만족하므로, 병렬 검증이 가능함을 활용하기.
• G_n가 프로베누스에 의해 닫혀진 단항식의 군일 때, |G_n| > n^{2s/2}를 만족하는 최소 정수 s로 정의함으로써, AKS의 고정된 r에 비해 효율성을 향상시키기.
• Z_n[i] 또는 Z_n[√a] 내에 적절한 대수적 구조가 존재함을 보장하기 위해 자카비 심볼 조건 (a|n) = −1 또는 (a|n) = (1−a|n) = −1을 사용하기.
• n ≡ 1과 n ≡ −1 (mod 4)에 각각 해당하는 매개변수화된 테스트 A_u와 B_u를 도입하며, 복잡도는 k와 u에 따라 달라진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ν₂(n−1) 또는 ν₂(n+1)가 높은 2-adic 값매김을 가진 수에 대해 결정론적 소수 판별을 가속화할 수 있는가?
• RQ2 알gebra적 대칭성을 활용해 AKS 유사 알고리즘의 다항식 합동식 검증 횟수를 어떻게 줄일 수 있는가?
• RQ3 r이 소수가 아니더라도 n mod r의 차수가 크다는 것이 알려져 있을 경우, AKS 알고리즘의 복잡도를 어느 정도 향상시킬 수 있는가?
• RQ4 소수 판별의 복잡도를 n의 구조, 특히 2-adic 값매김에 따라 적응적으로 만들 수 있는가?
• RQ5 밀도가 높은 수의 가족에 대해 ˜O(log n)^4 시간 내에 실행되는 소수 판별법을 구성할 수 있는가? 이는 AKS의 최상의 성능를 따라가지만 상수 요소는 훨씬 작게 만들 수 있다.

주요 결과

• n ≡ 1 (mod 4)인 경우 알고리즘은 2^{−min(k, [2 log log n])} ˜O(log n)^6 시간 내에 실행되며, k ≥ 2 log log n일 경우 ˜O(log n)^4로 향상된다.
• k = ν₂(n−1) ≥ 2 log log n인 큰 소수에 대해, 알고리즘은 최상의 경우 AKS 알고리즘보다 최소 2^11배 빠르다.
• n ≡ −1 (mod 4)인 경우 알고리즘은 동일한 ˜O(log n)^4 복잡도를 달성하며, 최악의 경우 AKS보다 2^9배 빠르다.
• k > 1/2 log n일 경우 알고리즘이 ˜O(log n)^2 시간 내에 실행되어 이러한 수의 가족에 대해 최적 복잡도에 가까워진다.
• 테스트 A_u의 복잡도는 약 2^{4(u−1)} 2^{−min(max(k−s,0), 2(u−1))} ˜O(log n)^6로 표현되며, 이는 u와 k에 대해 지수적 의존성을 보임을 보여준다.
• 저자들은 s와 군 구조를 적응적으로 조정함으로써, k가 2에서 1/2 log n 사이일 경우 알고리즘을 추가 최적화해 ˜O(log n)^2 복잡도를 달성할 수 있을 것이라 추측한다.