[논문 리뷰] Shattered Sets and the Hilbert Function

Shay Moran, Cyrus Rashtchian|arXiv (Cornell University)|2015. 11. 25.

Graph Labeling and Dimension Problems참고 문헌 37인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 대수기하학(힐버트 함수)과 조합론(VC 이론) 사이의 새로운 연결 고리를 설정하며, 특정 선형계획법 타당성 문제들이 낮은 차수의 다항식으로 근사될 수 없음을 보여줌으로써, 이들이 지수 크기의 정수 깊이 회로를 필요로 함을 증명한다. 또한 샌드위치 정리에 대한 새로운 대수적 증명을 제공하고, 다항식 방법을 통해 특정 교차 조건을 갖는 하향 폐쇄 집합의 구조적 결과를 증명한다.

ABSTRACT

We study complexity measures on subsets of the boolean hypercube and exhibit connections between algebra (the Hilbert function) and combinatorics (VC theory). These connections yield results in both directions. Our main complexity-theoretic result proves that most linear program feasibility problems cannot be computed by polynomial-sized constant-depth circuits. Moreover, our result applies to a stronger regime in which the hyperplanes are fixed and only the directions of the inequalities are given as input to the circuit. We derive this result by proving that a rich class of extremal functions in VC theory cannot be approximated by low-degree polynomials. We also present applications of algebra to combinatorics. We provide a new algebraic proof of the Sandwich Theorem, which is a generalization of the well-known Sauer-Perles-Shelah Lemma. Finally, we prove a structural result about downward-closed sets, related to the Chvátal conjecture in extremal combinatorics.

연구 동기 및 목표

• 대수학의 힐버트 함수와 셔터링 및 다운시프트와 같은 VC-이론적 개념 간의 깊은 연결 고리를 설정하기.
• 일반적인 선형계획법 타당성 문제의 광범위한 클래스가 다항식 크기의 정수 깊이 회로로 계산될 수 없음을 증명하기.
• 샌드위치 정리에 대한 새로운 대수적 증명을 제공하기(사우어-페르레스-셸라 추측의 일반화).
• 지정된 교차 조건을 갖는 하향 폐쇄 집합에 대한 이중사상의 존재를 증명함으로써 극한 조합론의 구조 문제를 해결하기.

제안 방법

• 다항식의 차수 최대 $ d $로 표현 가능한 함수 $ f: C \to \bbF $ 의 공간의 차원으로 정의된 힐버트 함수 $ h_d(C, \bbF) $ 를 정의한다.
• 셔터링, 강한 셔터링, 다운시프트와 같은 VC-이론적 매개변수를 바탕으로 $ h_d(C, \bbF) $ 의 상한과 하한을 설정한다.
• 다항식 방법을 사용하여, 선형계획법 타당성 문제의 부호 벡터 함수가 어떤 필드에서도 낮은 차수의 다항식으로 근사될 수 없음을 보인다.
• 특성 함수 행렬 $ \mathbf{1}_{a \cap b = \phi(a)} $ 가 $ \bbF_2 $ 에서 비특이적임을 증명함으로써 원하는 이중사상의 존재를 유도한다.
• 다운시프트된 집합 $ D $ 에서 단항식 $ \prod_{i \in a} x_i $ 가 $ \bbF_2^D $ 의 기저를 이룸을 이용하고, 이를 임의의 교차 매핑 $ \phi $ 로 일반화한다.
• 라즈보로프-스몰렌스키 다항식 근사 기법을 적용하여, 낮은 차수 다항식으로의 근사 불가능성에서 회로 하한을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 셔터링과 다운시프트와 같은 VC-이론적 개념을 사용하여 힐버트 함수를 한정시킬 수 있는가?
• RQ2 어떤 필드에서든 낮은 차수 다항식으로 근사되지 않는 VC 이론의 극한 함수가 존재하는가?
• RQ3 힐버트 함수와 기저 구성 방법을 사용하여 샌드위치 정리를 대수적 방법으로 증명할 수 있는가?
• RQ4 모든 하향 폐쇄 가족은 $ \phi(a) \subseteq a $ 인 임의의 $ \phi(a) \subseteq a $ 에 대해 $ a \cap \pi(a) = \phi(a) $ 를 만족하는 이중사상 $ \pi $ 를 갖는가?
• RQ5 특히 차수 2인 경우를 포함해, 낮은 보간 차수를 갖는 집합의 구조적 특성은 무엇인가?

주요 결과

• 일반 위치에 있는 $ m = 2d+1 $ 개의 초평면을 갖는 선형계획법 타당성 문제의 부호 벡터 함수는 어떤 필드에서든 낮은 차수 다항식으로 근사될 수 없다.
• 이 근사 불가능성은 타당성 함수를 계산하기 위해 지수 크기의 정수 깊이 회로가 필요함을 암시한다.
• $ \bbF_2 $ 에서 힐버트 함수와 기저 구성 방법을 사용하여 샌드위치 정리에 대한 새로운 대수적 증명이 제시된다.
• 모든 하향 폐쇄 가족 $ D $ 와 $ \phi(a) \subseteq a $ 인 매핑 $ \phi: D \to D $ 에 대해, 모든 $ a \in D $ 에 대해 $ a \cap \pi(a) = \phi(a) $ 를 만족하는 이중사상 $ \pi: D \to D $ 가 존재한다.
• 보간 차수 $ \mathsf{intdeg}(C) $ 는 $ C $ 의 VC 차수에 의해 상한으로 제한되며, $ \mathsf{intdeg}(C) = 1 $ 인 집합은 정확히 애फ인 독립 집합이다.
• 다운시프트된 집합 $ D $ 에서 단항식 $ \prod_{i \in a} x_i $ 는 $ \bbF_2^D $ 의 기저를 이룬다. 더 일반적으로, 함수 $ \prod_{i \in \phi(a)} x_i \prod_{i \in a \setminus \phi(a)} (1 + x_i) $ 는 $ \bbF_2^D $ 의 기저를 이룬다.