[논문 리뷰] Sheaf Quantization of Lagrangians and Floer cohomology

Claude Viterbo|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 27.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 26인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 $N \times \mathbb{R}$ 위에 정의된 복합체의 층을 구성하며, $T^*N$ 내의 정확한 라그랑주 부분다양체 $L$ 와 연관지어, 그의 특이성 지지가 $L$ 의 콘 $\hat{L}$ 와 일치함을 증명한다. 플로어 homology 를 통해, $L$ 의 필터링된 플로어 코homology 와 양자화된 복합체의 층 코homology 사이에 준동치를 확립하며, 이는 곱 구조의 동치를 포함한다.

ABSTRACT

Given an exact Lagrangian submanifold $L$ in $T^*N$, we want to construct a complex of sheaves in the derived category of sheaves on $N imes {\mathbb R} $, such that its singular support, $SS({\mathcal F}^\bullet_L)$, is equal to $\widehat L$, the cone constructed over $L$. Its existence was stated in \cite{Viterbo-ISTST} in 2011, with a sketch of proof, which however contained a gap (fixed here by the rectification). A complete proof was shortly after provided by Guillermou (\cite{Guillermou}) by a completely different method, in particular Guillermou's method does not use Floer theory. The proof provided here is, as originally planned, based on Floer homology. Besides the construction of the complex of sheaves, we prove that the filtered versions of sheaf cohomology of the quantization and of Floer cohomology coincide, that is $FH^*(N imes ]-\infty, λ[, {\mathcal F}^\bullet_L)\simeq FH^*(L;0_N;λ)$, and so do their product structures.

연구 동기 및 목표

• 정확한 라그랑주 부분다양체 $L \subset T^*N$ 에 대해, $N \times \mathbb{R}$ 위에 정의된 복합체의 층 $F_L^\bullet$ 를 구성하여 그 특이성 지지가 $L$ 의 콘 $\hat{L}$ 와 일치함을 보이는 것.
• 2011년의 초안에서 발견된 격차를 보완하기 위해, 층 양자화에 대한 플로어 이론적 증명을 제공하는 것.
• 필터링된 플로어 코homology $L$ 과 필터링된 층 코homology $F_L^\bullet$ 사이에 자연스러운 동형사상 수립.
• 양쪽에서의 곱 구조—플로어 cup 곱과 층의 요네다 곱—이 일치함을 보이는 것.
• 층 계수와 라그랑주 코보르디즘을 포함한 프레임워크의 확장과 심플렉틱 위상수학에의 응용.

제안 방법

• $L$ 에 경계를 지닌 $J$-홀로모르픽 커브의 모듈리 공간을 사용하여 $N \times \mathbb{R}$ 위에 플로어 준층을 구성하는 것.
• $f$ 와 $\lambda$ 에 대해 함성적인 $\widehat{FC}_L^\bullet(f,\lambda)$ 라는 진정한 층 복합체로 준층을 대체하기 위해 정규화 기법을 적용하는 것.
• 행동 필터링 $f_{L_0,L_1}(x) = f_{L_1}(x) - f_{L_0}(x)$ 을 갖는 필터링된 플로어 코homology $FC^\bullet_J(L_0,L_1;\lambda)$ 를 사용하는 것.
• 필터링된 복합체의 동형사상에 의해 층 코hom로 $H^*(N, F_L^\bullet)$ 와 플로어 코homology $HF^*(L; \lambda)$ 를 자연스럽게 연결하는 것.
• 요네다 곱이 플로어 cup 곱과 일치함을 보여 양쪽의 곱 구조가 동치임을 증명하는 것.
• 삼중 교차를 연결하고 곱 구조의 일관성을 검증하기 위해 심플렉틱 축소와 팬트 곱 구성법을 활용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정확한 라그랑주 $L \subset T^*N$ 에 대해, 그의 콘 $\hat{L}$ 이 특이성 지지가 되는 $N \times \mathbb{R}$ 위의 복합체의 층 $F_L^\bullet$ 을 구성할 수 있는가?
• RQ2 행동 필터링 $\lambda$ 를 갖는 $L$ 의 필터링된 플로어 코homology 는 양자화된 복합체 $F_L^\bullet$ 의 필터링된 층 코homology 와 동형인가?
• RQ3 이 동형사상 하에서, 플로어 cup 곱과 층의 요네다 곱이 일치하는가?
• RQ4 라그랑주 코보르디즘에 대해 층 양자화는 어떻게 행동하며, 어떤 불변량이 유지되는가?
• RQ5 이 프레임워크는 층 계수를 갖는 플로어 코homology 로 확장될 수 있으며, 심플렉틱 위상수학에 어떤 함의를 갖는가?

주요 결과

• 플로어 이론적 방법을 통해, 특이성 지지가 $SS(F_L^\bullet) = \hat{L}$ 인 복합체의 층 $F_L^\bullet$ 이 존재함을 입증하였으며, 2011년 초안의 격차를 해결하였다.
• 필터링된 복합체의 자연스러운 동형사상: $F H^*(N \times ]-\infty, \lambda[, F_L^\bullet) \simeq F H^*(L; 0_N; \lambda)$ 가 존재하며, 필터링과 차수를 유지한다.
• 양쪽의 곱 구조는 동치이다: 층 코homology 의 요네다 곱과 플로어 cup 곱이 일치한다.
• $-L$ 의 층 양자화가 구성되었으며, 층 이론의 팬트 곱은 플로어 이론적 패air-of-pants 곱과 대응된다.
• 심플렉틱 축소에 대해 플로어 코hom로와 층 코hom로 사이의 동형사상은 곱 구조의 일관성을 확인한다.
• 라그랑주 코보르디즘에 대한 적용이 가능하다: 만약 $C$ 가 $L_0$ 에서 $L_1$ 으로 향하는 정확한 라그랑주 코보르디즘이라면, $F H^*(L_0) \simeq F H^*(L_1)$ 이며, 이 동형사상은 $N \times [0,1]$ 위의 층에 의해 유도된다.