[논문 리뷰] Sheets and associated varieties of affine vertex algebras

Tomoyuki Arakawa, Anne Moreau|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 22.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 29인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 비적응 수준에서의 아핀 보어드 대칭 대수의 비어 있는 부분다양체가 아핀 보어드 대칭 대수의 관련 다양체로 나타남을 증명한다. 특히, 비적응 수준에서의 경우에 대해, $V_{-1}(\mathfrak{sl}_n)$의 관련 다양체가 첫 번째 단순 루트를 생략한 리 대수의 리 부분대수에 대응하는 시트의 폐포임을 보이며, Zhu 대수 분석과 파oisson 보어드 대칭 대수의 구조를 통해 새로운 가족의 림스 $W$-대수를 제시한다.

ABSTRACT

We show that sheet closures appear as associated varieties of affine vertex algebras. Further, we give new examples of non-admissible affine vertex algebras whose associated variety is contained in the nilpotent cone. We also prove some conjectures from our previous paper and give new examples of lisse affine W-algebras.

연구 동기 및 목표

• 비적응 수준에서의 아핀 보어드 대칭 대수의 관련 다양체를 특정하는 것, 특히 그들이 근본 다각형의 내부에 있지 않은 경우에 대해.
• 관련 다양체가 비자명한 근본 다각형이 아닌 조르당 분류의 폐포(즉, 시트)일 수 있는지 조사하는 것, 이는 이전 연구에서 근본 다각형의 폐포나 전체 쌍대공간 외에는 얻어지지 않았음.
• 이전 연구에서 제기된 최소 $W$-대수의 림스 성질에 대한 추측을 검증하고 확장하는 것, 특히 예외적 리 타입에 대해.
• 아핀 보어드 대칭 대수의 표현 이론과 리 대수의 시트 기하학 사이의 연결 고리를 관련 다양체를 통해 수립하는 것.

제안 방법

• 아핀 보어드 대칭 대수 $V$에 대해 Zhu $C_2$-대수 구조를 사용하여 관련 다양체 $X_V = \operatorname{Specm} R_V$ 를 정의한다.
• Poisson 보어드 대칭 대수 이론과 궤도 스킴을 적용하여 $\operatorname{gr} V$ 를 시트 폐포 $\overline{\SS}$ 의 무한 차수의 임의 스킴 $J_\infty \overline{\SS}$ 와 연결한다.
• 등급화된 구조 $SS(V)_{\text{red}} \cong (J_\infty \overline{\SS})_{\text{red}}$ 를 이용하여 관련 다양체를 시트의 폐포로 식별한다.
• 리 대수의 분해 $\mathfrak{g}^\natural = \bigoplus \mathfrak{g}_i^\natural$ 과 $W$-대수로의 관련 보어드 대수의 통합을 통해 $\mathcal{W}^k(\mathfrak{g}, f_\theta)$ 의 구조를 분석한다.
• Kirillov-Kostant Poisson 괄호 $S(\mathfrak{g}^e)$ 와 Poisson 이상 이론을 적용하여, 모든 $k_i^\natural \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$ 이면 $\sqrt{I} = S(\mathfrak{g}^e)$ 임을 보이며, 이는 $\mathcal{W}^k(\mathfrak{g}, f_\theta)$ 가 림스임을 의미한다.
• 특수 벡터가 $V^{k_i^\natural}(\mathfrak{g}_i^\natural)$ 에서 $\mathcal{W}^k(\mathfrak{g}, f_\theta)$ 로 사라지지 않는 특수 벡터로 보존됨을 보여, 비자명성과 림스 조건을 뒷받침한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비적응 수준에서 아핀 보어드 대칭 대수의 관련 다양체가 $\mathfrak{g}^*$ 의 비자명한 비근본 다각형 부분다양체, 예를 들어 시트의 폐포일 수 있는가?
• RQ2 아핀 보어드 대칭 대수 $V_k(\mathfrak{g})$ 의 관련 다양체가 어떤 리 대수의 리 부분대수 $\mathfrak{l} \subset \mathfrak{g}$ 에 대응하는 시트 $\overline{\SS_{\mathfrak{l}}}$ 의 폐포와 동형일 수 있는가?
• RQ3 최소 $W$-대수 $\mathcal{W}_k(\mathfrak{g}, f_\theta)$ 가 림스가 되는 조건은 무엇인가, 특히 A 타입이 아닌 리 대수에 대해?
• RQ4 만약 $k = -h^\vee/6 - 1$ 이고 $\mathfrak{g}$ 가 Deligne의 예외적 계열에 속한다면, $V_k(\mathfrak{g})$ 의 관련 다양체가 최소 근본 다각형의 폐포와 일치하는가?
• RQ5 Zhu 대수 $R_{\mathcal{W}^k(\mathfrak{g}, f_\theta)}$ 가 $\mathbb{C}[\mathscr{S}_{f_\theta}]/I$ 와 동형이며, $\sqrt{I} = S(\mathfrak{g}^e)$ 를 만족함을 보여, 이는 림스 성질을 의미하는가?

주요 결과

• 모든 $n \geq 4$ 에 대해, $V_{-1}(\mathfrak{sl}_n)$ 의 관련 다양체는 첫 번째 단순 루트를 생략한 리 부분대수 $\mathfrak{l}_1$ 에 대응하는 시트 $\overline{\SS_{\mathfrak{l}_1}}$ 의 폐포와 동형이다.
• 모든 $m \geq 2$ 에 대해, $V_{-m}(\mathfrak{sl}_{2m})$ 의 관련 다양체는 $m$-번째 단순 루트를 생략한 리 부분대수 $\mathfrak{l}_0$ 에 대응하는 시트 $\overline{\SS_{\mathfrak{l}_0}}$ 와 동형이다.
• $\mathcal{W}_k(G_2, f_\theta)$ 의 관련 다양체는 $k \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$ 일 때 $\overline{\mathbb{O}_{\text{min}}}$ 와 일치하며, 이는 이 가족의 림스 성질을 확인한다.
• $\mathcal{W}_k(\mathfrak{g}, f_\theta)$ 가 림스임은 $\mathfrak{g}^\natural$ 의 구성 요소들에 대응하는 수준 $k_i^\natural$ 가 모든 $i \geq 1$ 에 대해 $\mathbb{Z}_{\geq 0}$ 에 속할 때에만 성립한다.
• $V_k(\mathfrak{g})$ 의 관련 다양체가 $\{0\}$ 과 일치하는 것은 $k \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$ 일 때에만 성립하며, 이는 적응 경우에서의 적합성과 림스 성질을 확인한다.
• 논문은 [AM15]의 추측을 검증하며, $\mathfrak{g} = G_2$ 이면 $\mathcal{W}_k(\mathfrak{g}, f_\theta)$ 가 림스임은 $3k + 5 \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$ 일 때에만 성립하며, 이를 다른 예외적 타입으로 확장한다.