[논문 리뷰] Shellability of 3-cut complexes of powers of cycle graphs

Pratiksha Chauhan, Samir Shukla|arXiv (Cornell University)|2026. 03. 24.

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한 줄 요약

본 논문은 3-컷 복합 Delta_3(C_n^p)가 n ≥ 6p−3일 때 셸링 가능하다는 것을 보이고, 그 동위형태와 셸링 구조를 결정한다.

ABSTRACT

In connection with commutative algebra, Bayer et al. introduced cut complexes in [Topology of cut complexes of graphs, SIAM J.\ Discrete Math., 38(2):1630-1675, 2024]. For a positive integer $k$, the $k$-cut complex of a graph $G$, denoted as $Δ_k(G)$, is the simplicial complex whose facets are the $(|V(G)|-k)$-subsets $σ$ of the vertex set $V(G)$ of $G$ such that the induced subgraph $G[V(G) \setminus σ]$ is disconnected. Let $C_n^p$ denote the $p$-th power graph of the cycle graph $C_n$ on $n$ vertices. In this article, we show that $Δ_3(C_n^p)$ is shellable for $n \geq 6p-3$, and therefore these complexes are homotopy equivalent to a wedge of spheres of dimension $n-4$. We provide an explicit shelling order on the facets of $Δ_3(C_n^p)$. We also characterize and count the number of spanning facets in this shelling order, and determine the number of spheres appearing in the wedge in the homotopy type of $Δ_3(C_n^p)$.

연구 동기 및 목표

• 가환대수학과 위상수학과의 관련성에서 컷 복합 연구에 동기를 부여한다.
• 주기 그래프의 거듭제곱의 3-컷 복합의 조합적 및 위상적 구조를 조사한다.
• n에 대한 선형 경계 하에서 Delta_3(C_n^p)의 셸링 가능성을 확립하고 동위형태를 도출한다.
• 명시적 셸링 순서를 제공하고 포괄 면의 개수와 동위형에서의 구의 수를 계산한다.

제안 방법

• 구조 프레임워크인 k-cut 복합 Delta_k(G)를 활용하는데, 이때 면은 (|V(G)|−k)-부분집합으로서 G를 제거하면 G가 연결이 끊어지는 경우이다.
• 특수화하여 G = C_n^p, 사이클 그래프의 p번째 거듭제곱으로 본다.
• Delta_3(C_n^p)의 면들에 대한 명시적 셸링 순서를 구성한다.
• 셀링의 조합성을 분석하여 포괄 면의 수를 계산하고 와지에서의 구의 수를 결정한다.
• 차원 n−4의 구들의 와지로서의 호모토피 타입을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 n과 p에 대해 Delta_3(C_n^p)가 셸링 가능합니까?
• RQ2 Delta_3(C_n^p)에 대한 명시적 셸링 순서는 무엇이며 그것이 어떻게 동위형태를 결정합니까?
• RQ3 Delta_3(C_n^p)의 동위형을 나타내는 와지에서 구는 몇 개나 나타납니까?
• RQ4 구축된 셸링 순서에서 포괄 면은 몇 개인가요?

주요 결과

• Delta_3(C_n^p)는 n ≥ 6p−3일 때 셸링 가능하다.
• Delta_3(C_n^p)는 차원 n−4의 구들의 와지와 동위형이다.
• 면들에 대한 명시적 셸링 순서가 제공된다.
• 저자는 셸링 순서에서 포괄 면의 수를 특징짓고 계산한다.
• 와지의 구의 수(동위형 타입)가 결정된다.