[논문 리뷰] Shellable drawings and the cylindrical crossing number of $K_n$

Bernardo M. Ábrego, Oswin Aichholzer외 3명|arXiv (Cornell University)|2013. 09. 14.

Computational Geometry and Mesh Generation참고 문헌 7인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 완전 그래프 $K_n$ 의 s-쉘러블 그림을 도입하여, $s \geq n/2$ 인 모든 such 그림이 하라리-힐 추측을 만족함을 증명한다. 즉, 최소 $Z(n) = \frac{1}{4}\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor\left\lfloor\frac{n-2}{2}\right\rfloor\left\lfloor\frac{n-3}{2}\right\rfloor$ 개의 교차를 달성한다. 주요 기여는 이전에 별개로 연구된 원통형, $x$-유계, 단조형, 2페이지 그림의 클래스들이 모두 s-쉘러블임을 보여주어, 이들 가족에 대해 추측된 교차 수가 확인됨을 의미한다.

ABSTRACT

The Harary-Hill Conjecture States that the number of crossings in any drawing of the complete graph $ K_n $ in the plane is at least $Z(n):=\frac{1}{4}\left\lfloor \frac{n}{2} ight floor \left\lfloor\frac{n-1}{2} ight floor \left\lfloor \frac{n-2}{2} ight floor\left\lfloor \frac{n-3}{2} ight floor$. In this paper, we settle the Harary-Hill conjecture for {\em shellable drawings}. We say that a drawing $D$ of $ K_n $ is {\em $ s $-shellable} if there exist a subset $ S = \{v_1,v_2,\ldots,v_ s\}$ of the vertices and a region $R$ of $D$ with the following property: For all $1 \leq i < j \leq s$, if $D_{ij}$ is the drawing obtained from $D$ by removing $v_1,v_2,\ldots v_{i-1},v_{j+1},\ldots,v_{s}$, then $v_i$ and $v_j$ are on the boundary of the region of $D_{ij}$ that contains $R$. For $ s\geq n/2 $, we prove that the number of crossings of any $ s $-shellable drawing of $ K_n $ is at least the long-conjectured value Z(n). Furthermore, we prove that all cylindrical, $ x $-bounded, monotone, and 2-page drawings of $ K_n $ are $ s $-shellable for some $ s\geq n/2 $ and thus they all have at least $ Z(n) $ crossings. The techniques developed provide a unified proof of the Harary-Hill conjecture for these classes of drawings.

연구 동기 및 목표

• 완전 그래프 $K_n$ 의 광범위한 그림 클래스에 대해 하라리-힐 추측을 해결하기 위해, '쉘러블성'이라는 통합된 구조적 성질을 도입한다.
• $s \geq n/2$ 인 $s$-쉘러블 그림이 추측된 최소 교차 수 $Z(n)$ 를 달성함을 보인다.
• 2페이지 및 원통형 그림에 대한 이전 결과를 통합하여, 이들이 모두 $s$-쉘러블 그림의 특수한 경우임을 보인다.
• 기존에 별도로 증명된 단조형 및 $x$-유계 그림에 대해 하한을 확장한다.

제안 방법

• 서브드로잉 $D_{ij}$ 를 특정 정점들을 제거하여 얻을 때, 모든 $i < j$ 에 대해 정점 $v_i$ 와 $v_j$ 가 영역 $R$ 를 포함하는 영역의 경계 위에 있을 때, 부분집합 $S = \{v_1, \dots, v_s\}$ 과 영역 $R$ 을 통해 $s$-쉘러블 그림의 개념을 도입한다.
• 사이클 $C = v_1v_2\dots v_s$ 를 사용하여 셸러블성의 충분 조건을 설정한다. 여기서 $v_1v_s$ 는 교차 없이, $v_kv_{k+1}$ 는 $i < k$ 이고 $j > k+1$ 인 $v_iv_j$ 와만 교차한다.
• 만약 그림이 사이클 조건을 만족하면, 그것은 $s$-쉘러블임을 증명하고, 이는 주요 정리의 적용을 가능하게 한다.
• 원통형 그림는 크기가 $n/2$ 이상인 교차 없는 사이클을 포함하므로, $s$-쉘러블이며 따라서 하라리-힐 경계를 만족한다.
• $x$-유계 및 단조형 그림가 사이클 조건을 만족함을 보여, 따라서 $s$-쉘러블이며, 최소 $Z(n)$ 개의 교차를 달성한다.
• 일반적으로 $s$-쉘러블 그림가 $s \geq n/2$ 를 만족하면 최소 $Z(n)$ 개의 교차를 가짐을 보여, 이전 결과들을 통합하고 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기존 구성 이외의 광범위한 그림 클래스에 대해 하라리-힐 추측을 증명할 수 있는가?
• RQ2 원통형, $x$-유계, 단조형, 2페이지 그림가 모두 최소 교차 수 $Z(n)$ 를 달성하는가?
• RQ3 이 그림들의 본질적 특성을 포괄하고 교차 수 하한을 유도하는 통합된 구조적 성질이 존재하는가?
• RQ4 쉘러블성 조건을 사용하여 2페이지 그림에 대한 이전 결과를 다른 그림 유형으로 일반화할 수 있는가?
• RQ5 레마 5의 사이클 조건을 만족하는 모든 그림이 $s \geq n/2$ 인 $s$-쉘러블 그림을 생성하는가?

주요 결과

• 모든 $s$-쉘러블 그림 중에서 $s \geq n/2$ 인 경우 최소 $Z(n)$ 개의 교차를 가지며, 이는 이 클래스에 대해 하라리-힐 추측을 확인한다.
• 원통형 그림는 $s \geq n/2$ 인 경우 $s$-쉘러블이며, 따라서 최소 $Z(n)$ 개의 교차를 가진다.
• $x$-유계 그림는 레마 5의 조건을 모두 만족하므로 $s$-쉘러블이며, 최소 $Z(n)$ 개의 교차를 가진다.
• 단조형 그림는 $x$-유계 그림의 부분집합이므로 최소 $Z(n)$ 개의 교차를 달성한다.
• 2페이지 그림는 원통형 그림의 특수한 형태이므로, 쉘러블성에 의해 $Z(n)$ 하한을 물려받는다.
• 이 논문은 여러 그림 클래스에 대해 하라리-힐 추측을 통합적으로 증명하여 오랫동안 미해결이었던 사례를 해결한다.