[논문 리뷰] Sherali - Adams Strikes Back

Ryan O’Donnell, Tselil Schramm|arXiv (Cornell University)|2018. 12. 24.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 44인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 랜덤 부울 k-CSP를 n^{⌈k/2⌉+δ}개의 제약 조건을 가진 채로, 다항식 수준 이하의 라운드 수로 Sherali–Adams 선형계획법 계층이 강한 반증을 수행할 수 있음을 보여준다. 이는 전통적인 기대를 뛰어넘는 성능을 보이며, 스펙트럴 갭이 O(1/√∆)인 그래프의 경우 O(log n / log ∆)라운드의 Sherali–Adams가 최대 컷이 최대 50.1% 이하임을 인증함으로써, 최대 컷 문제에서 LP 계층이 실패한다는 기존의 믿음을 도전한다. 이는 최대 컷 문제에서 SDP나 스펙트럴 방법이 필요하다는 믿음을 뒤집는 결과이다.

ABSTRACT

Let $G$ be any $n$-vertex graph whose random walk matrix has its nontrivial eigenvalues bounded in magnitude by $1/\sqrtΔ$ (for example, a random graph $G$ of average degree~$Θ(Δ)$ typically has this property). We show that the $\exp\Big(c \frac{\log n}{\log Δ}\Big)$-round Sherali--Adams linear programming hierarchy certifies that the maximum cut in such a~$G$ is at most $50.1\%$ (in fact, at most $ frac12 + 2^{-Ω(c)}$). For example, in random graphs with $n^{1.01}$ edges, $O(1)$ rounds suffice; in random graphs with $n \cdot ext{polylog}(n)$ edges, $n^{O(1/\log \log n)} = n^{o(1)}$ rounds suffice. Our results stand in contrast to the conventional beliefs that linear programming hierarchies perform poorly for \maxcut and other CSPs, and that eigenvalue/SDP methods are needed for effective refutation. Indeed, our results imply that constant-round Sherali--Adams can strongly refute random Boolean $k$-CSP instances with $n^{\lceil k/2 ceil + δ}$ constraints; previously this had only been done with spectral algorithms or the SOS SDP hierarchy.

연구 동기 및 목표

• 최대 컷 및 유사한 CSP 문제에서 Sherali–Adams와 같은 선형계획법 계층이 성능이 열 劣하다는 기존의 믿음을 도전하기 위해.
• n^{⌈k/2⌉+δ}개의 제약 조건을 가진 부울 k-CSP의 랜덤 인스턴스에 대해 Sherali–Adams가 강한 반증을 수행할 수 있음을 보여주기 위해.
• 스펙트럴 갭이 O(1/√∆)인 그래프의 경우, O(log n / log ∆)라운드의 Sherali–Adams가 최대 컷 ≤ 50.1%임을 인증할 수 있음을 보여주기 위해.
• 상수 라운드의 Sherali–Adams가 n^{1.01}개 간선을 가진 랜덤 그래프에서 통합 비율이 1에 가까워질 수 있음을 입증하기 위해.
• 스펙트럴 및 SDP 방법과 견줄 만한 새로운 이론적 기반을 제공하여, LP 계층이 랜덤 CSP를 반증하는 데 가지는 능력을 정립하기 위해.

제안 방법

• R라운드를 사용한 Sherali–Adams 선형계획법 계층을 적용하여, 차수 최대 R인 단항식에 대한 변수와 제약 조건을 추가함으로써 타이트닝된 근사값을 확보한다.
• 특히 |λ| ≤ 1/√∆인 랜덤 걷기 행렬의 유한한 비자명 고유값을 가진 랜덤 그래프에서 계층의 행동을 분석한다.
• 집중 불등식과 모멘트 경계(레마 5.14를 통한)를 적용하여, 랜덤 CSP에서 유도된 제약 조건 계수를 제어한다.
• 베르누이 타입 불등식과 尾부 경계를 활용하여, 제약 조건 기여도 |Iα(x)|의 절대값이 고도로 확률적으로 o(1)임을 인증한다.
• Parseval의 항등식과 ℓ1-ℓ2 노름 경계를 활용하여 총 목표 함수 값과 개별 제약 조건 기여도의 합을 연결한다.
• 약간의 희박성 조건(n^{⌈k/2⌉+δ}개 제약 조건) 하에서, R = O(log n / log ∆)라운드가 충분하여 최대 컷 ≤ 1/2 + 2^{-Ω(c)}를 인증할 수 있음을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Sherali–Adams 선형계획법 계층은 n^{⌈k/2⌉+δ}개의 제약 조건을 가진 랜덤 부울 k-CSP에 대해 강한 반증을 수행할 수 있는가?
• RQ2 희박한 랜덤 그래프에서 최대 컷 값이 작다는 것을 인증하는 데서, Sherali–Adams 계층이 전통적인 LP 근사보다 뛰어난 성능을 보일 수 있는가?
• RQ3 랜덤 걷기 행렬의 스펙트럴 성질(|λ| ≤ 1/√∆)을 활용하여, 강한 반증을 위해 필요한 Sherali–Adams의 라운드 수를 제한할 수 있는가?
• RQ4 상수 라운드의 Sherali–Adams가 n^{1.01}개 간선을 가진 랜덤 그래프에서 통합 비율이 1에 가까워질 수 있는가?
• RQ5 랜덤 최대 컷 인스턴스를 반증하는 데서 Sherali–Adams의 성능은 스펙트럴 및 SDP 방법과 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 평균 차수 Θ(∆)인 랜덤 그래프에서, O(log n / log ∆)라운드의 Sherali–Adams가 최대 컷이 최대 50.1% 이하임을 인증한다.
• n^{1.01}개 간선을 가진 랜덤 그래프에서, O(1)라운드의 Sherali–Adams가 최대 컷을 강하게 반증할 수 있다.
• n · polylog(n)개 간선을 가진 랜덤 그래프에서, n^{O(1/log log n)} = n^{o(1)}라운드의 Sherali–Adams가 강한 반증을 위해 충분하다.
• 스펙트럴 갭이 O(1/√∆)인 그래프에서, 통합 비율이 1/2 + 2^{-Ω(c)}에 도달하며, ∆가 증가함에 따라 1/2에 가까워진다.
• Sherali–Adams는 n^{⌈k/2⌉+δ}개의 제약 조건을 가진 랜덤 k-CSP를 다항식 수준 이하의 라운드로 강하게 반증할 수 있으며, 이는 이전에는 스펙트럴 또는 SOS SDP 방법에서만 달성 가능했던 성능을 재현한다.
• 결과적으로, LP 계층이 스펙트럴 및 SDP 방법과 견줄 수 있거나 이를 초월할 수 있음을 보여주며, 오랫동안 지속된 가정을 도전한다.