[논문 리뷰] Shimura varieties with $Γ_1(p)$-level via Hecke algebra isomorphisms: the Drinfeld case

Thomas J. Haines, Michael Rapoport|arXiv (Cornell University)|2010. 05. 14.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 2인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 Hecke 대수 동형사상들을 이용하여, $p$에서 $Γ_1(p)$-레벨 구조를 가진 Drinfeld 유형 쇼이마 다양체의 인접 사이클에 대한 반단순 레프셰츠 수의 테스트 함수를 결정한다. 이 테스트 함수들이 Hecke 대수에서 중심임을 증명하고, 알코브 워크 묘사와 버네스타인 함수의 지지집합을 통해 이를 명시적으로 계산하며, 이들이 정확히 적합한 집합 $Γ(μ)$에 속해 있음을 보여준다.

ABSTRACT

We study the local factor at p of the semi-simple zeta function of a Shimura variety of Drinfeld type for a level structure given at p by the pro-unipotent radical of an Iwahori subgroup. Our method is an adaptation to this case of the Langlands-Kottwitz counting method. We use Hecke algebra isomorphisms to determine the test functions at p.

연구 동기 및 목표

• Drinfeld 유형 쇼이마 다양체의 인접 사이클에 관련된 Hecke 대수에서 테스트 함수를 결정하는 것.
• Hecke 대수 동형사상들을 통해 Hecke 대수 $Σ(G(L_r), K_{p^r})$ 내에서 이러한 테스트 함수가 중심임을 입증하는 것.
• 버네스타인 함수와 알코브 워크 묘사를 이용하여 테스트 함수를 명시적으로 계산하는 것.
• 테스트 함수 $z_\mu$의 지지집합이 정확히 적합한 집합 $Γ(\mu)$임을 보여주는 것.

제안 방법

• Langlands-Kottwitz 수세기 방법을 $\Gamma_1(p)$-레벨 구조를 가진 Drinfeld 경우에 적응하는 것.
• Goldstein, Morris, Roche의 Hecke 대수 동형사상들을 사용하여, 이러한 동형사상 아래에서 테스트 함수의 상을 분석하는 것.
• A. Ram의 알코브 워크 이론(반대 와이울 카르테시안 $χ$에서의 방향성 포함)을 사용하여 버네스타인 함수 $\Theta^\mathcal{C}_\lambda$를 묘사하는 것.
• 감소 표현을 사용하여 $t_\lambda = s_{i_1} \cdots s_{i_k} \tau$를 이용해 $\lambda \in W\mu$에 대한 $\Theta^\mathcal{C}_\lambda$의 합으로 $버네스타인 함수 $z_\mu$를 표현하는 것.
• 알코브 위치가 애핀 근 초평면에 대해 어떤지에 따라 부호 $\varepsilon_\nu = \pm 1$를 결정하여 $\Theta^\mathcal{C}_\lambda$의 알코브 워크를 정의하는 것.
• 알코브 워크 묘사를 통해 $z_\mu$의 지지집합이 $Γ(\mu)$에 포함됨을 증명하고, 비음성 계수를 가진 선형 조합에서의 비취소 성질을 통해 등식을 보이는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Drinfeld 유형 쇼이마 다양체에 대해 $p$에서 $Γ_1(p)$-레벨 구조를 가진 경우, Hecke 대수 $Σ(G(L_r), K_{p^r})$ 내에서 인접 사이클에 대한 테스트 함수 $\phi_r = \phi_r(R\Psi)$의 명시적 형태는 무엇인가?
• RQ2 이 테스트 함수가 Hecke 대수에서 중심인 이유는 무엇이며, Hecke 대수 동형사상들을 통해 중심성은 어떻게 입증할 수 있는가?
• RQ3 버네스타인 함수 $\Theta^\mathcal{C}_\lambda$의 알코브 워크 묘사 방식이 $z_\mu$의 구조에 어떻게 기여하는가?
• RQ4 버네스타인 함수 $z_\mu$의 정확한 지지집합은 무엇이며, 이는 적합한 집합 $Γ(\mu)$와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 테스트 함수 $\phi_r$는 $\lambda \in W\mu$에 대한 $\Theta^\mathcal{C}_\lambda$의 합으로 표현될 수 있으며, 이는 취소 없이 이루어지는가?

주요 결과

• Hecke 대수 동형사상들을 통해 $Γ_1(p)$-레벨 구조를 가진 Drinfeld 유형 쇼이마 다양체의 인접 사이클에 대한 테스트 함수 $\phi_r$가 Hecke 대수 $Σ(G(L_r), K_{p^r})$ 내에서 중심임을 입증하였다.
• 테스트 함수 $\phi_r$는 중심에 속하는 버네스타인 함수 $z_{\mu^*}$로 식별되며, 이는 이중 최소단성 코차르터 $\mu^*$에 관련된 것으로 Hecke 대수의 중심에 속한다.
• 버네스타인 함수 $z_\mu$의 지지집합이 정확히 적합한 집합 $Γ(\mu)$임을 증명하였으며, $\lambda \in W\mu$에 대한 합에서 취소가 일어나지 않음을 보였다.
• 감소 표현을 사용한 $t_\lambda$에 대한 알코브 워크 묘사는 $\Theta^\mathcal{C}_\lambda$의 구체적 실현을 제공하며, 이들의 합은 비음성 계수를 가진 $z_\mu$를 이룬다.
• 관계식 $T_v \Theta_\lambda T_v^{-1} = \Theta^{\mathcal{C}}_{v\lambda}$를 통해 $z_\mu^\mathcal{C} = T_v^{-1} z_\mu T_v = z_\mu$임을 증명하여, 불변성(즉 중심성)을 확인하였다.
• 이 구성은 테스트 함수 $\phi_r$가 와이울 카르테시안의 선택에 영향을 받지 않으며, Hecke 대수의 중심 원소로서 잘 정의되어 있음을 확인하였다.