[논문 리뷰] Shor's algorithm with fewer (pure) qubits

Christof Zalka|ArXiv.org|2006. 01. 15.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 5인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 표준 회로에서 약 2n개의 순수 큐비트가 필요한 것을 줄여 약 1.5n개로 줄이는 쇼어 알고리즘의 개선된 버전을 제안한다. 이는 대부분의 큐비트를 초기화할 필요 없이, 초위상 코셋과 모듈로 산술을 사용함으로써 달성된다. 수정된 모듈로 곱셈 기법과 삼진 양자 푸리에 변환을 도입하여 효율성을 유지하며, 고전적 사전 계산과 근사 양자 연산을 통해 정확성을 유지하면서 큐비트 수를 크게 절감한다.

ABSTRACT

In this note we consider optimised circuits for implementing Shor's quantum factoring algorithm. First I give a circuit for which none of the about 2n qubits need to be initialised (though we still have to make the usual 2n measurements later on). Then I show how the modular additions in the algorithm can be carried out with a superposition of an arithmetic sequence. This makes parallelisation of Shor's algorithm easier. Finally I show how one can factor with only about 1.5n qubits, and maybe even fewer.

연구 동기 및 목표

• 쇼어의 소인수 분해 알고리즘에 필요한 큐비트 수, 특히 |0⟩으로 초기화되어야 하는 큐비트 수를 줄이는 것.
• 표준 회로에서 약 2n개의 큐비트를 모두 초기화할 필요 없이, 모듈로 곱셈 연산을 수정함으로써 이를 제거하는 것.
• 초위상 상태로 표현된 산술 수열의 초위상 상태를 사용하는 새로운 양자 방법을 통해 모듈로 덧셈의 병렬화를 가능하게 하는 것.
• n비트 모듈로 곱셈을 더 작은 연산으로 분해함으로써 스케일러블하게 큐비트 수를 줄이고, 목표로 하는 큐비트 수를 1.5n 이하로 낮추는 것.

제안 방법

• 제어된 모듈로 곱셈을 |α,β⟩ → |a·α, a⁻¹·β⟩ mod N로 수정하여 추가 작업 큐비트가 필요 없도록 하며, 두 개의 곱셈을 세 개의 곱셈으로 대체한다.
• 수정된 곱셈 단계에서 증가한 게이트 수를 보상하기 위해 '삼진' 양자 푸리에 변환을 도입한다.
• n큐비트 수를 표현하기 위해 ∑|b + xN⟩ 형태의 초위상 상태를 사용하여, 완전한 모듈로 환원 없이 근사적인 모듈로 덧셈을 수행할 수 있도록 한다.
• 드래퍼의 푸리에 덧셈 기법을 적용하여, 양자 푸리에 변환을 사용해 모듈로 덧셈을 효율적으로 수행한다.
• 확장된 유클리드 알고리즘의 중간 결과를 활용하여 n비트 모듈로 곱셈을 두 개의 반절 크기(n/2비트) 곱셈으로 분해한다.
• 고전적 사전 계산과 가역 회로를 활용하여 계산 부담을 양자 처리에서 고전적 처리로 이전한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 쇼어 알고리즘은 표준 2n보다 적은 초기화된 큐비트로 실행될 수 있는가? 만약 가능하다면, 초기화를 피하기 위해 회로를 어떻게 수정할 수 있는가?
• RQ2 표준 모듈로 산술 대신 산술 수열의 초위상 상태를 사용하면, 양자 회로에서 모듈로 덧셈을 더 효율적으로 수행할 수 있는가?
• RQ3 n비트 연산을 더 작은, 더 낮은 큐비트 수를 요구하는 연산으로 분해함으로써 쇼어 알고리즘의 총 큐비트 수를 2n 이하로 줄일 수 있는가?
• RQ4 근사 양자 연산과 고전적 사전 계산을 사용하여 큐비트 수와 회로 깊이 사이의 트레이드오프를 최적화할 수 있는가?
• RQ5 수정된 쇼어 알고리즘을 사용해 n비트 수를 소인수 분해하기 위해 필요한 최소 큐비트 수는 얼마인가?

주요 결과

• 논문은 쇼어 알고리즘의 약 2n개 큐비트 중 어느 것도 |0⟩으로 초기화될 필요가 없음을 입증한다. 수정된 모듈로 곱셈은 초위상 상태를 유지하며 작업 큐비트가 필요 없도록 한다.
• 산술 수열의 초위상 상태를 사용하는 새로운 모듈로 덧셈 방법은 병렬화를 크게 가능하게 하고, 회로 깊이를 O(n²)로 줄인다.
• 확장된 유클리드 알고리즘의 중간 결과를 활용해 n비트 모듈로 곱셈을 두 개의 n/2비트 곱셈으로 분해함으로써 큐비트 수를 약 1.5n으로 줄였다.
• 제안된 회로는 모듈로 덧셈에 단 1개의 작업 큐비트만 사용하며, 드래퍼의 푸리에 덧셈 기법을 활용하여, 홀수 n에 대해 총 큐비트 수가 ⌈1.5n⌉ + 2로 계산된다.
• n/2비트 구성요소를 추가로 고전적으로 소인수 분해함으로써 더 낮은 큐비트 수를 얻을 수 있는 잠재력이 있으며, 이로써 큐비트 수를 1.1n 수준으로 낮출 수 있음을 시사한다.
• 고전적 사전 계산과 근사 양자 연산을 통해 정확성을 유지하며, 중간 값의 고전적 소인수 분해를 통해 추가 최적화가 가능하다.