[논문 리뷰] Short-time expansions for close-to-the-money options under a Lévy jump model with stochastic volatility

José E. Figueroa‐López, Sveinn Ólafsson|arXiv (Cornell University)|2014. 04. 02.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 12인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 레비 점프 프레임워크 하에서 근접한 탑-더-머니 옵션 가격에 대한 2차 단기 전개를 확장한다. 이는 레비 밀도에 대한 최소한의 적분 조건 하에서 전개가 유지됨을 보이며, 브라운 운동 성분을 평균 회귀 성분으로 대체한 독립적인 확률적 변동성 모델로 일반화된다. 이 경우에도 동일한 점근적 구조를 유지하며, 변동성 파rameter는 조정된 형태로 유지된다.

ABSTRACT

In Figueroa-López et al. (2013), a second order approximation for at-the-money (ATM) option prices is derived for a large class of exponential Lévy models, with or without a Brownian component. The purpose of this article is twofold. First, we relax the regularity conditions imposed in Figueroa-López et al. (2013) on the Lévy density to the weakest possible conditions for such an expansion to be well defined. Second, we show that the formulas extend both to the case of "close-to-the-money" strikes and to the case where the continuous Brownian component is replaced by an independent stochastic volatility process with leverage.

연구 동기 및 목표

• 이전의 단기 전개에서 탑-더-머니 옵션에 대한 레비 밀도에 대한 규칙성 조건을 가능한 한 가장 약한 조건으로 완화하는 것.
• 레비 점프 모델 하에서 탑-더-머니에서 근접한 탑-더-머니 옵션으로 2차 단기 전개를 확장하는 것.
• 상수 변동성 성분이 독립적인 확률적 변동성 과정으로 대체된 모델로 결과를 일반화하는 것.
• 특히 ∫|x|≤1 |x|−Y |1−q̄(x)| dx < ∞ 조건 하에서 전개의 타당성을 확립하는 것.
• 상수 변동성 대신 드리프트 및 확산 계수를 갖는 SDE로 제어되는 확률적 변동성 과정으로 대체될 경우, 점근적 공식이 어떻게 유지되는지 보여주는 것.

제안 방법

• 레비-힌친 기반의 펌정적 접근을 사용하여 근접한 탑-더-머니 옵션에 대한 2차 단기 전개를 유도한다.
• 최소한의 규칙성 조건을 갖는 레비 과정을 다루기 위해 잘라내기 및 근사 기법을 사용하며, q̄(x)에 대해 더 강한 조건 (1.5)를 만족하는 과정으로 근사한다.
• 출구 시간 확률을 분석하기 위해 기하학적 변환(Girsanov 유사 변환)과 시간 변화된 브라운 운동 기법을 적용한다.
• 반사 원리와 브라운 운동의 누적 최대값에 대한 베셀 과정 추정을 사용하여 출구 시간의 지수 꼬리 경계를 확립한다.
• 측도 전환과 국소 마팅게일 표현을 사용하여 변동성 과정이 영역에서 벗어나는 확률을 제어하며, 임의의 k ∈ ℕ 에 대해 O(t^k) 순서의 적분 가능성과 감쇠율을 보장한다.
• 결과적으로 유도된 옵션 가격 전개가 상수 변동성의 경우와 동일한 함수 형태를 유지하며, 변동성 파rameter σ가 확률적 변동성 과정의 통합된 변동성으로 대체됨을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 레비 점프 모델 하에서 탑-더-머니 옵션에 대한 2차 단기 전개가 근접한 탑-더-머니 행사가로 확장될 수 있는가?
• RQ2 2차 전개가 잘 정의되기 위한 레비 밀도에 대한 최소한의 조건은 무엇인가?
• RQ3 상수 확산 성분이 독립적인 확률적 변동성 과정으로 대체될 경우 전개가 여전히 타당한가?
• RQ4 특히 전개의 변동성 파rameter가 어떻게 변화하는가?
• RQ5 예를 들어, 영역 근처에서 |1−q̄(x)|의 적분 가능성만을 가정할 경우, 전개가 더 약한 규칙성 조건 하에서도 타당한가?

주요 결과

• 탑-더-머니 옵션에 대한 2차 단기 전개는 동일한 최소적 적분 조건 ∫|x|≤1 |x|−Y |1−q̄(x)| dx < ∞ 하에서 근접한 탑-더-머니 행사가로도 유지된다.
• 이전 연구에서 제시된 규칙성 조건 (1.3)은 대부분 불필요함이 밝혀졌으며, 전개는 잘 정의되기 위한 최소 조건 하에서도 성립한다.
• 브라운 운동 성분이 SDEs (1.6)–(1.7)를 만족하는 독립적인 확산 과정 (V_t)로 대체된 모델로도 전개가 확장된다.
• 점근적 공식은 동일한 구조를 유지하며, 상수 변동성 σ는 확률적 변동성 과정의 통합된 변동성으로 대체된다. 이로 인해 동일한 수렴 속도를 유지한다.
• 드리프트 및 확산 계수에 대한 미약한 규칙성 조건 하에서, 변동성 과정이 유계 영역에서 벗어나는 확률은 초기 조건에 관계없이 임의의 다항식보다 더 빠르게 감소한다.
• 핵심 기술적 단계는 시간 변화된 브라운 운동의 구성과 베셀 과정 추정을 활용하여 출구 시간 확률을 제한하는 것으로, 임의의 k ∈ ℕ 에 대해 O(t^k) 순서의 지수 감쇠를 이끈다.