[논문 리뷰] Short-time near-the-money skew in rough fractional volatility models

Christian Bayer, Peter K. Friz외 3명|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 01.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 28인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 H < 1/2인 러프 분수적 볼라일리티 모델에서 단기 근근 옵션 가격과 이론적 볼라일리티 스퍼드의 고차수 渐近 전개를 개발한다. 새로운 에너지 전개와 중간 편차 이론을 활용하여 기존의 대편차 결과를 중간 편차 영역으로 확장함으로써, 급격한 단기 이론적 볼라일리티 스퍼드를 정확히 모델링할 수 있게 되었으며, 1년 이내의 만기까지 수치 시뮬레이션과 강한 일치를 보이는 명시적 渐近 공식을 제공한다.

ABSTRACT

We consider rough stochastic volatility models where the driving noise of volatility has fractional scaling, in the ‘rough’ regime of Hurst parameter H&lt;1/2. This regime recently attracted a lot of attention both from the statistical and option pricing point of view. With focus on the latter, we sharpen the large deviation results of Forde-Zhang [Asymptotics for rough stochastic volatility models. SIAM J. Financ. Math., 2017, 8(1), 114–145] in a way that allows us to zoom-in around the money while maintaining full analytical tractability. More precisely, this amounts to proving higher order moderate deviation estimates, only recently introduced in the option pricing context. This in turn allows us to push the applicability range of known at-the-money skew approximation formulae from CLT type log-moneyness deviations of order t1/2 (works of Alòs, León &amp; Vives and Fukasawa) to the wider moderate deviations regime.

연구 동기 및 목표

• 단기 만기 주식 옵션에서 관찰되는 급격한 근근 스퍼드를 포착하지 못하는 전통적 확률적 볼라일리티 모델의 한계를 해결하기 위해.
• 대편차 결과를 중간 편차 영역으로 확장하여, 근근 영역에서의 보다 정교한 분석을 가능하게 하기 위해.
• H < 1/2인 비-마르코프 러프 볼라일리티 모델에서 옵션 가격의 일반적인 渐近 프레임워크를 개발하기 위해.
• 밀도 전개 없이도 유효한, 명시적이고 해석적으로 다룰 수 있는 콜 가격과 이론적 볼라일리티의 전개를 유도하기 위해.
• 러프 볼라일리티 역학에서 유효한 이론적 渐近 전개를 수치 시뮬레이션을 통해 검증하여, 거래소의 만기 기하학적 구조와 강한 일치를 보여주기 위해.

제안 방법

• 비-마르코프 러프 볼라일리티 모델에 대해 분수적 볼타르 프로세스 표현을 통해 위너 공간 위의 라플라스 방법을 적응시켰다.
• 러프 분수적 설정에서 작용 함수에 대한 일반화된 오사지마 유형의 에너지 전개를 도입하여, 고차수 스무스니스와 전개 성질을 확립하였다.
• 아센코프의 渐近 전개 기법을 적용하여 밀도 전개가 필요 없이 직접 콜 가격의 渐近 전개를 도출하였다.
• 행동 스케일링을 위해 행사가를 중간 편차 스케일링에 적용하였으며, 로그 머니널리티를 kt ≈ t^{1/2 - H + β}로 재스케일링하여, 중심극한정리 영역(t^{1/2})을 초월하고 중간 편차 영역으로의 분석이 가능하도록 하였다.
• GL14에서 제시한 차원 없는 분산 공식을 활용하여 역함수의 테일러 전개와 결합함으로써 엄밀한 이론적 볼라일리티 전개를 도출하였다.
• 지역화된 잔여 오차 꼬리 추정과 페르니크 타입의 경계를 활용하여, σ의 C²-정규성 조건 하에서 에너지 전개의 비정규성 편향을 제어하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 H < 1/2인 러프 분수적 볼라일리티 모델에서 근근 스퍼드를 포착하기 위해 고차수 중간 편차 추정을 유도할 수 있는가?
• RQ2 작은 시간 스케일링 하에서 러프 볼라일리티 모델의 에너지 함수는 어떻게 행동하며, 이를 주어진 차수를 초월해 전개할 수 있는가?
• RQ3 밀도 전개 없이도 에너지 전개에서 직접적으로 옵션 가격의 渐近 전개를 도출할 수 있는 정도는 어느 정도인가?
• RQ4 유도된 이론적 볼라일리티 공식은 만기 전체에 걸쳐 이론적 볼라일리티의 기하학적 구조, 특히 단기 급격한 스퍼드를 정확히 재현할 수 있는가?
• RQ5 러프 볼라일리티 모델에서 근근과 근외 영역 간의 격차를 메우는 데 최적의 스케일링 영역(중간 편차)은 무엇인가?

주요 결과

• H < 1/2인 비-마르코프 설정으로 확장된 오사지마 전개를 포함한 고차수 에너지 전개가 러프 분수적 볼라일리티 모델에 대해 확립되었다.
• 모든 β ∈ (0, 2H/n] 및 n ≥ 2에 대해 유효한 중간 편차 영역에서의 콜 가격에 대한 일반적 渐近 공식이 도출되었으며, 명시적 오차 경계가 포함되어 있다.
• 이론적 볼라일리티 전개(정리 3.6)는 임의의 차수 n까지 유도되었으며, 스퍼드가 t^{1/2 - H}에 비례하고, t^{β}의 거듭제곱 급수에 의해 결정되는 계수들이 에너지 함수의 0에서의 도함수에 의존함을 보여준다.
• 이론적 볼라일리티의 渐近 공식은 단기 만기 근처에서 스퍼드의 급격함을 포착하며, 주요 항은 t^{1/2 - H} 비례하며, 실증 관측 결과와 일치한다.
• 러프 버그미 모델에 대한 수치 시뮬레이션을 통해 유도된 渐近 전개가 1년 이내의 이론적 볼라일리티 만기 기하학적 구조를 정확히 재현함을 확인하였다.
• 이 방법은 밀도 전개가 필요 없이 에너지 함수에서 직접적으로 작동하므로, 러프 볼라일리티 가격 정책에 대해 강력하고 해석적으로 다룰 수 있는 프레임워크를 제공한다.