[논문 리뷰] Short time regularity of Navier-Stokes flows with locally $L^3$ initial data and applications

Kyungkeun Kang, Hideyuki Miura외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 12. 26.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 20인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 국소적으로 $L^3$에 속하는 초기 자료를 가진 3차원 나비에-스토크스 방정식의 적절한 약한 해에 대해, 국소 에너지와 압력 노름이 유계이면, 짧은 시간 동안의 정칙성을 확립한다. 이는 정칙성 결과를 더 부드럽지 않은 초기 자료로 확장하고, 이산적으로 자가유사적 또는 국소 $L^3$ 노름이 작은 해에 대한 핵심 문제를 해결한다.

ABSTRACT

We prove short time regularity of suitable weak solutions of 3D incompressible Navier-Stokes equations near a point where the initial data is locally in $L^3$. The result is applied to the regularity problems of solutions with uniformly small local $L^3$ norms, and of forward discretely self-similar solutions.

연구 동기 및 목표

• 초기 자료가 국소적으로 $L^3$에 속할 때 3차원 나비에-스토크스 방정식의 적절한 약한 해에 대해 짧은 시간 동안의 정칙성을 확립하는 것.
• 균일하게 작은 국소 $L^3$ 노름을 가진 해에 대한 정칙성 문제를 다루는 것.
• 국소 $L^3$ 기반의 초기 자료를 가진 전방 이산 자가유사 해의 정칙성을 분석하는 것.
• 기존의 허들러 연속성 또는 소규모 자료 가정을 초월하여 알려진 정칙성 결과를 확장하는 것.

제안 방법

• 초기 시간 근처에서 해의 행동을 제어하기 위해 국소 에너지 및 국소 압력 추정을 사용한다.
• 리프스 변환과 컷오프 함수를 이용해 압력을 국소 및 원거리 부분으로 분해한다.
• 압력 및 속도 장에 대한 매끄러운 근사와 약한 수렴을 이용해 극한으로의 전이를 다룬다.
• 스케일 불변 추정을 통해 원기둥 형태의 파라볼릭 영역에서 속도와 압력에 대한 균일한 유계성을 확립한다.
• 극한과 원래 해 사이의 차이에 대한 소멸 증명을 통해 극한의 유일성을 증명한다.
• 비선형 항을 제어하기 위해 국소 에너지 부등식과 $L^2_t L^{3/2}_x$에서의 압력 유계성을 이용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초기 자료가 국소적으로 $L^3$에 속하는 3차원 나비에-스토크스 방정식의 적절한 약한 해는 그 초기 자료가 국소적으로 $L^3$에 속하는 점 근처에서 정칙성이 보장될 수 있는가?
• RQ2 국소 $L^3$ 노름과 에너지/압력 노름에 어떤 조건이 성립하면 짧은 시간 동안의 정칙성이 보장되는가?
• RQ3 초기 자료가 부드럽지 않더라도 $L^3$ 기반의 초기 자료를 가진 이산 자가유사 해에 대해 정칙성이 확립될 수 있는가?
• RQ4 전역적으로 $L^3$ 적분 가능성이 없더라도 국소적으로 $L^3$ 제어가 가능하고, 소규모 조건이 만족되면 여전히 정칙성이 보장되는가?
• RQ5 전역 소규모 조건이 필요 없이 국소 $L^3$ 노름이 작은 해에 대해서도 정칙성 결과를 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $\epsilon_0$와 $C_1$에 대해, $B_1$에서의 초기 $L^3$ 노름이 $\epsilon_0$ 이하이고, 해의 에너지 및 압력이 $M$ 이하이면, $B_{1/4} \times (0,T_1)$에서 해는 정칙성이 보장된다.
• 해는 $B_{1/4} \times (0,T_1)$에서 $|v(x,t)| \leq C_1 / \sqrt{t}$라는 균일한 유계성을 만족하며, 이는 $M$에 무관하다.
• 정칙성 시간 $T_1$는 $T_1(M) = \epsilon (1+M)^{-6}$로 표현되며, 작은 $M$에 대해 정칙성이 보장된다. 여기서 $\epsilon > 0$은 작은 전연의 상수이다.
• 압력은 $B_1 \times (0,T_1)$에서 $L^2_t L^{3/2}_x$ 노름으로 유계이며, 이는 에너지 추정과 압력 분해에 필수적이다.
• 해는 국소화된 $L^3$ 유계성을 만족한다: $\sup_{z_0} \sup_{r>0} \frac{1}{r^2} \int_{Q_{z_0,r} \cap [B_1 \times (0,T_1)]} |v|^3 \, dz \leq 1$, 이는 농축이 제어됨을 나타낸다.
• 압력 분해 공식이 국소적으로 성립하며, 압력가 국소 및 원거리 부분으로 분리되며, 적절한 $s,q$에 대해 $L^s_t L^q_x$ 노름으로 유계이며, 이는 근사화 과정에서의 극한 전이를 가능하게 한다.