[논문 리뷰] Shortest path and maximum flow problems in planar flow networks with additive gains and losses

Saber Mirzaei, A. J. Kfoury|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 29.

Advanced Graph Theory Research인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 평면 덧셈형 유량 네트워크(모든 간선이 덧셈형 이득 또는 손실을 가짐)에서 최단경로 문제와 최대유량 문제 모두 강한 의미에서 NP-난이도임을 증명한다. 일반적으로 평면성 구조는 다항시간 해법을 가능하게 하므로, 덧셈형 이득/손실의 존재로 인해 표준 유량 성질이 깨지며, 이로 인해 입력 값이 유계임에도 불구하고 이러한 기본적인 네트워크 문제는 계산적으로 해석 불가능해진다.

ABSTRACT

In contrast to traditional flow networks, in additive flow networks, to every edge e is assigned a gain factor g(e) which represents the loss or gain of the flow while using edge e. Hence, if a flow f(e) enters the edge e and f(e) is less than the designated capacity of e, then f(e) + g(e) = 0 units of flow reach the end point of e, provided e is used, i.e., provided f(e) != 0. In this report we study the maximum flow problem in additive flow networks, which we prove to be NP-hard even when the underlying graphs of additive flow networks are planar. We also investigate the shortest path problem, when to every edge e is assigned a cost value for every unit flow entering edge e, which we show to be NP-hard in the strong sense even when the additive flow networks are planar.

연구 동기 및 목표

• 기본 그래프가 평면인 덧셈형 유량 네트워크에서 최단경로 및 최대유량 문제의 계산 복잡도를 조사하는 것.
• 네트워크 구조의 평면성이 이러한 문제에 대해 다항시간 해법을 가능하게 하는지 여부를 규명하는 것.
• 기존의 일반 그래프에 대한 NP-난이도 결과를 더 제약 있는 평면 그래프의 경우로 확장하는 것.
• 덧셈형 이득 및 손실이 유량 보존, 쌍대성과 같은 고전적 네트워크 유량 성질에 미치는 영향을 탐색하는 것.
• 향후 근사 알고리즘 및 고정매개변수 다항시간 해법에 대한 기초를 마련하는 것.

제안 방법

• 가능한 유량이 진리값 할당에 대응하는 평면 덧셈형 유량 네트워크를 구성하기 위해 3-SAT에서의 축소를 수행하는 것.
• 논리 변수와 절을 네트워크 구조에 코딩하기 위한 변수 및 절 기능소를 설계하는 것.
• 간선 용량, 이득 인자, 비용 함수를 사용하여 논리 제약 조건과 유량 행동을 모델링하는 것.
• 유입 유량과 유출 유량 최대화 문제를 연결하기 위해 역방향 유량 네트워크를 구성하는 것.
• 입력 값이 다항적으로 유계임을 이용하여 강한 의미에서의 NP-난이도를 공식적으로 증명하는 것.
• 평면 그래프의 구조와 덧셈형 이득/손실의 성질을 활용하여 표준 알고리즘이 실패함을 보여주는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 평면 덧셈형 유량 네트워크에서 최단경로 문제는 강한 의미에서 NP-난이도인가?
• RQ2 평면 덧셈형 유량 네트워크에서 최대 유입 유량 또는 최대 유출 유량 문제도 강한 의미에서 NP-난이도인가?
• RQ3 덧셈형 유량 네트워크에 표준 최대유량/최소컷 쌍대성 또는 증강 경로 방법을 적용할 수 있는가?
• RQ4 덧셈형 이득 및 손실은 최단경로 문제에서 부분경로의 최적성을 무효화하는가?
• RQ5 이러한 문제에 대해 근사 알고리즘 또는 고정매개변수 다항시간 알고리즘을 개발할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 간선 비용, 이득, 용량이 입력 크기의 다항식으로 유계일지라도, 평면 덧셈형 유량 네트워크에서 최단경로 문제는 강한 의미에서 NP-난이도이다.
• 3-SAT 축소를 통해 평면 구조를 사용한 결과, 평면 덧셈형 유량 네트워크에서 최대 유입 유량 문제 역시 강한 의미에서 NP-난이도이다.
• 역방향 유량 네트워크를 이용한 쌍대성 논증을 통해 최대 유출 유량 문제 역시 강한 의미에서 NP-난이도임을 입증하였다.
• 덧셈형 이득 및 손실의 존재로 인해 유량 보존, 부분경로 최적성, 최대유량/최소컷 쌍대성과 같은 고전적 성질이 깨진다.
• 모든 입력 매개변수(비용, 이득, 용량)가 네트워크 크기의 다항식으로 유계여도 결과는 그대로 유지된다.
• 이러한 결과는 평면 덧셈형 네트워크에서 이러한 문제에 대해 알려진 다항시간 알고리즘이 존재하지 않음을 시사하며, 향후 근사 알고리즘 및 고정매개변수 다항시간 알고리즘 개발을 위한 동기를 제공한다.