[논문 리뷰] Shortest Paths in Graphs of Convex Sets

Tobia Marcucci, Jack Umenberger외 2명|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 27.

Robotic Path Planning Algorithms참고 문헌 44인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 정점 위치가 연속 변수이며 그들이 충족해야 할 조건이 볼록집합이고, 간선 길이가 이러한 위치에 대해 볼록 함수로 정의되는 그래프에서의 최단경로 문제(SPP in GCS)를 위한 새로운 혼합정수볼록최적화(MICP) 수식을 제안한다. 이 방법은 관점 풀이( perspective relaxation)를 사용하여 강력하고 경량화된 MICP를 구성함으로써, 고차원이고 큰 크기의 그래프에서도 효율적인 전역 최적화를 가능하게 하며, 제어 응용 분야에서 이전의 접근 방식보다 뛰어난 성능을 보인다.

ABSTRACT

Given a graph, the shortest-path problem requires finding a sequence of edges with minimum cumulative length that connects a source vertex to a target vertex. We consider a variant of this classical problem in which the position of each vertex in the graph is a continuous decision variable constrained in a convex set, and the length of an edge is a convex function of the position of its endpoints. Problems of this form arise naturally in many areas, from motion planning of autonomous vehicles to optimal control of hybrid systems. The price for such a wide applicability is the complexity of this problem, which is easily seen to be NP-hard. Our main contribution is a strong and lightweight mixed-integer convex formulation based on perspective operators, that makes it possible to efficiently find globally optimal paths in large graphs and in high-dimensional spaces.

연구 동기 및 목표

• 정점 위치가 연속 변수이며 그들이 충족해야 할 조건이 볼록집합이고, 간선 길이가 이러한 위치에 대해 볼록 함수로 정의되는 그래프에서 NP-난이도의 최단경로 문제를 해결하는 것.
• 하이브리드 시스템의 운동계획 및 최적제어에 나타나는 이 클래스의 문제에 대해 계산적으로 효율적이고 전역 최적해를 확보할 수 있는 방법을 개발하는 것.
• 대규모 그래프와 고차원 공간으로의 확장이 가능하도록 강력하면서도 경량화된 혼합정수볼록프로그램(MICP)을 설계하는 것.
• 명시적인 볼록집합의 정보가 없이도, 분리 오라클을 통해만 접근 가능한 볼록집합에 대해 작동하는 집합 기반의 볼록 풀이를 제안하는 것.
• 이 프레임워크가 이산시간 하이브리드 동적 시스템의 최적제어에 효과적으로 적용되어 최신 기법들보다 뛰어난 성능을 보이는지 검증하는 것.

제안 방법

• 클래식한 네트워크 플로우 수식을 확장하여 관점 풀이를 도입함으로써, SPP in GCS를 혼합정수볼록프로그램(MICP)으로 수식화한다.
• 연속 변수와 이진 선택 변수의 곱으로 발생하는 이차항을 위한 관점 연산자를 사용하여 강력한 볼록 풀이를 구성한다.
• 명시적인 제약 조건이 필요 없이 추상 볼록집합에 직접 작용하는 집합 기반의 풀이를 도입함으로써, 분리 오라클을 통해만 접근 가능한 블랙박스 집합에도 적용 가능하게 한다.
• 이진 변수가 경로 선택을 나타내고 연속 변수가 경로 상의 정점 위치를 나타내는 플로우 기반 모델링 접근 방식을 사용한다.
• MICP의 볼록 풀이를 구현함으로써 강력한 이중성과 현대 최적화 솔버를 통한 효율적인 전역 해법을 보장한다.
• 볼록집합의 구조와 볼록 간선 길이 함수의 특성을 활용하여 전체 수식이 여전히 볼록적이고 해석 가능하도록 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정점 위치가 연속 변수이며 그들이 충족해야 할 조건이 볼록집합이고, 간선 길이가 이러한 위치에 대해 볼록 함수로 정의되는 그래프에서 최단경로 문제를 전역 최적해로 효율적으로 해결할 수 있는가?
• RQ2 연속 위치 변수와 경로 선택 이진 변수의 곱으로 발생하는 이차항을 어떻게 강력하게 풀이할 수 있으며, 이로 인해 최적해가 유지되는가?
• RQ3 제안된 MICP 수식이 고차원 및 대규모 사례에서 강력한 이중성과 강력한 풀이를 얼마나 잘 유지하는가?
• RQ4 이 수식은 기존 방법들보다 더 뛰어난 계산 성능을 보이며 하이브리드 동적 시스템의 최적제어에 적용될 수 있는가?
• RQ5 그래프의 구조적 대칭성에 따라 풀이 갭이 얼마나 민감하게 영향을 받는가? 실질적으로 이러한 경우를 어떻게 완화할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 MICP 수식은 고차원 공간(수십 차원)과 대규모 그래프(수백 개 정점)에서도 볼록집합의 그래프에서 최단경로의 전역 최적화를 가능하게 한다.
• MICP의 볼록 풀이는 일반적으로 매우 강력한 편이며, 테스트한 최악의 경우에서도 풀이 갭이 5%에 불과하며, 극단적으로 대칭적인 경우에만 임의로 넓어질 수 있다.
• 원점 기준으로 소스에서 중간 정점으로의 간선 길이가 0이고 목표 및 중간 정점 집합이 원점에 중심을 두고 있는 대칭적인 사례에서는 풀이 갭이 100%에 도달했지만, 실질적인 응용에서는 이러한 경우는 매우 드물다.
• 이 프레임워크는 상태 및 제어 변수를 볼록집합에 통합하고 간선 길이를 에너지 또는 비용으로 표현함으로써 이산시간 하이브리드 시스템의 최적제어 문제를 성공적으로 모델링한다.
• 수치 실험 결과, 제어 응용 분야에서 계산 시간과 확장성 측면에서 최신 기법들을 능가하는 성능을 보였다.
• 집합 기반의 관점 풀이 덕분에, 분리 오라클을 통해만 접근 가능한 블랙박스 볼록집합에도 적용 가능하여, 복잡하거나 다각형이 아닌 집합에 대한 적용 가능성이 향상되었다.