[논문 리뷰] Shortest sequences containing primitive words and powers

Yu Hin Au|arXiv (Cornell University)|2009. 04. 25.

Coding theory and cryptography인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유한 알파벳에서 길이 $n$인 모든 원시 단어를 포함하는 가장 짧은 단어를 만드는 데, 근사 알고리즘 또는 사전순으로 정렬된 리드넘 단어들을 연결하여 구성한다. 또한 길이 $pn$인 모든 $p$-거듭제곱을 포함하는 단어의 길이에 대한 경계를 설정하며, 이 경계는 $pk^n$과 약 $(p + \frac{1}{k})k^n$ 사이에 존재한다. 이 상한은 알고리즘을 통해 달성 가능하다.

ABSTRACT

We show that for every $n \geq 1$ and over any finite alphabet, there is a word whose circular factors of length $n$ have a one-to-one correspondence with the set of primitive words. In particular, we prove that such a word can be obtained by a greedy algorithm, or by concatenating all Lyndon words of length $n$ in increasing lexicographic order. We also look into connections between de Bruijn graphs of primitive words and Lyndon graphs. Finally, we also show that the shortest word that contains every $p$-power of length $pn$ over a $k$-letter alphabet has length between $pk^n$ and roughly $(p+ \frac{1}{k}) k^n$, for all integers $p \geq 1$. An algorithm that generates a word which achieves the upper bound is provided.

연구 동기 및 목표

• 임의의 유한 알파벳에서 길이 $n$인 원시 단어들 모두를 정확히 순환 인자로 포함하는 가장 짧은 단어를 구성하는 것.
• 기수 $k$인 알파벳에서 길이 $pn$인 모든 $p$-거듭제곱을 포함하는 단어의 길이에 대해 날카로운 경계를 설정하는 것.
• 원시 단어의 드 브리지 그래프와 리드넘 그래프 사이의 구조적 연결 고리를 탐색하는 것.
• 모든 $p$-거듭제곱을 포함하는 데 상한에 도달하는 단어를 생성하는 효율적 알고리즘을 제공하는 것.

제안 방법

• 근사 알고리즘을 사용하여 길이 $n$의 모든 원시 단어를 순환 인자로 포함하는 단어를 구성한다.
• 이 구성 방식이 사전순으로 정렬된 모든 리드넘 단어의 길이 $n$을 연결하는 것과 동치임을 보여준다.
• 논문은 원시 단어에 국한된 드 브리지 그래프의 구조를 분석하고, 이를 리드넘 그래프와 연결한다.
• 조합론적 및 문자열학 기법을 사용하여 길이 $pn$인 모든 $p$-거듭제곱을 포함하는 단어의 최소 길이에 대한 이론적 경계를 유도한다.
• 길이 $pn$인 모든 $p$-거듭제곱을 포함하는 데 약 $(p + \frac{1}{k})k^n$의 상한에 도달하는 단어를 생성하는 알고리즘을 설계한다.
• 이론적 분석은 리드넘 단어의 성질과 문자열 분해 및 드 브리지 그래프 구조에서의 역할을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 유한 알파벳에서 길이 $n$인 모든 원시 단어를 순환 인자로 포함하는 가장 짧은 단어는 무엇인가요?
• RQ2 기수 $k$인 알파벳에서 길이 $pn$인 모든 $p$-거듭제곱을 포함하는 단어는 얼마나 짧아질 수 있나요?
• RQ3 원시 단어의 드 브리지 그래프와 리드넘 그래프 사이에 어떤 구조적 관계가 존재하나요?
• RQ4 근사 알고리즘 또는 리드넘 단어 연결이 원시 단어 커버리지에 대해 가장 짧은 단어를 생성할 수 있나요?
• RQ5 모든 $p$-거듭제곱을 포함하는 데 상한에 도달하는 단어를 생성하는 효율적 알고리즘이 존재합니까?

주요 결과

• 모든 $n \geq 1$ 및 임의의 유한 알파벳에 대해, 길이 $n$의 원시 단어들 모두를 정확히 순환 인자로 포함하는 단어가 존재한다.
• 그러한 단어는 근사 알고리즘을 사용하거나 사전순으로 정렬된 모든 리드넘 단어의 길이 $n$을 연결하여 구성할 수 있다.
• 기수 $k$인 알파벳에서 길이 $pn$인 모든 $p$-거듭제곱을 포함하는 가장 짧은 단어의 길이는 $pk^n$과 약 $(p + \frac{1}{k})k^n$ 사이에 존재한다.
• 제공된 알고리즘을 통해 $(p + \frac{1}{k})k^n$의 상한이 $p$-거듭제곱 포함에 대해 달성 가능하다.
• 논문은 원시 단어의 드 브리지 그래프와 리드넘 그래프 사이에 구조적 연결 고리를 확립하며, 더 깊은 조합론적 연결 고리를 시사한다.
• 리드넘 단어 연결을 통한 구성은 원시 단어 커버리지에 있어 순환 인자의 수를 최소화함을 보장한다.