[논문 리뷰] Shrinking Targets for Countable Markov Maps

Henry W. J. Reeve|arXiv (Cornell University)|2011. 07. 24.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 11인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 단위 구간 위의 확장 가능한 가чёт Markov 사상에 대해, 궤도가 점 y 주위의 반지름 $ e^{-nackslashalpha} $인 수축하는 구역으로 유한한 수의 n에 대해 무한히 들어가는 수축 목표 집합의 하우스도르프 차원이 $ s(\alpha) $임을 규명한다. 여기서 $ s(\alpha) $는 $ -s\log|T'| $의 압력이 $ s\alpha $ 이하가 되는 최소의 $ s $이다. 이 결과는 반발자 $ \Lambda $ 가 $[0,1]$ 에서 조밀할 경우, 반발자의 폐포에 속하는 모든 $ y $ 에 대해 성립하지만, $ \dim_H \Lambda < 1 $ 이더라도 일부 $ y \notin \Lambda $ 에 대해서는 실패하며, 이는 $ s(\alpha) > 0 $ 이지만 차원이 0일 수 있음을 보여준다.

ABSTRACT

Let $T$ be an expanding Markov map with a countable number of inverse branches and a repeller $Λ$ contained within the unit interval. Given $α\in \R_+$ we consider the set of points $x \in Λ$ for which $T^n(x)$ hits a shrinking ball of radius $e^{-nα}$ around $y$ for infinitely many iterates $n$. Let $s(α)$ denote the infimal value of $s$ for which the pressure of the potential $-s\log|T'|$ is below $s α$. Building on previous work of Hill, Velani and Urbański we show that for all points $y$ contained within the limit set of the associated iterated function system the Hausdorff dimension of the shrinking target set is given by $s(α)$. Moreover, when $\barΛ=[0,1]$ the same holds true for all $y \in [0,1]$. However, given $β\in (0,1)$ we provide an example of an expanding Markov map $T$ with a repeller $Λ$ of Hausdorff dimension $β$ with a point $y\in \barΛ$ such that for all $α\in \R_+$ the dimension of the shrinking target set is zero.

연구 동기 및 목표

• 무한한 분지수를 가진 확장 가능한 가чёт Markov 사상에 대해 수축 목표 집합의 하우스도르프 차원을 규명한다.
• 이전의 Hill, Velani, Urbański의 유한 분지 체계에서의 결과를 무한 분지 체계로 확장한다.
• 목표 점 $ y $ 에 따른 차원의 의존성, 특히 $ y \in \overline{\Lambda} \setminus \Lambda $ 인 경우를 조사한다.
• $ s(\alpha) > 0 $ 이지만 차원이 양수 또는 0일 조건을 규명한다.
• $ \dim_H \mathcal{D}_y(\alpha) = 0 $ 가 발생할 수 있음을 보여주는 반례를 제시한다.

제안 방법

• 수축 목표 집합 $ \mathcal{D}_y(\alpha) $ 는 $ \Lambda $ 에 속한 점 $ x $ 중에서 $ T^n(x) $ 가 $ y $ 를 중심으로 하는 반지름 $ e^{-n\alpha} $ 인 구역으로 유한한 수의 $ n $ 에 대해 무한히 들어오는 점들의 집합으로 정의한다.
• 압력 함수 $ P(-s\log|T'|) $ 를 사용하여 $ s(\alpha) $ 를 정의하며, 이는 $ P(-s\log|T'|) < s\alpha $ 를 만족하는 최소의 $ s $ 이다. 이는 차원을 결정짓는다.
• 열역학 체계 이론과 차원 이론의 기법, 특히 질량 이행 원리와 커버링 추론을 적용한다.
• 실린더 집합 $ V_\omega $ 를 이용해 수축 목표 집합의 중첩 커버링을 구성하고, 도함수 성장 $ |(T^n)'(x)| > \xi^n $ 를 사용해 그 직경을 추정한다.
• 잠재력 $ \Phi(n,x) = e^{-S_n(\varphi)(x)} $ 의 거의 곱셈 성질을 이용해 목표 집합의 크기를 제어하고, 이를 압력과 연결한다.
• 임의의 $ \epsilon > 0 $ 에 대해 $ \epsilon $-하우스도르프 측도가 유한함을 보여 $ \dim_H \leq s(\alpha) $ 를 증명함으로써 상한을 확보하고, $ s(\alpha) $ 의 차원을 가진 칸토어 유사 부분집합을 구성함으로써 하한을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한한 역분지수를 가진 확장 가능한 가чёт Markov 사상에 대해, $ \mathcal{D}_y(\alpha) $ 의 하우스도르프 차원은 무엇인가요?
• RQ2 반발자 $ \Lambda $ 가 $[0,1]$ 에서 조밀할 경우, $ \overline{\Lambda} $ 의 모든 $ y $ 에 대해 $ \dim_H \mathcal{D}_y(\alpha) = s(\alpha) $ 공식이 성립하는가요?
• RQ3 $ s(\alpha) > 0 $ 일 때도 $ \dim_H \mathcal{D}_y(\alpha) = 0 $ 가 발생할 수 있으며, 만약 그렇다면 $ y $ 와 $ \Lambda $ 에 대해 어떤 조건에서 발생하는가요?
• RQ4 $ y \in \Lambda $ 와 $ y \in \overline{\Lambda} \setminus \Lambda $ 의 경우에 수축 목표 집합의 행동은 어떻게 다릅니까?
• RQ5 $ s(\alpha) > 0 $ 이지만 수축 목표 집합의 차원이 $ s(\alpha) $ 보다 엄밀히 작을 수 있는 조건은 무엇인가요?

주요 결과

• 확장 가능한 가чёт Markov 사상과 반발자 $ \Lambda $ 를 가진 경우, 무한한 분지수를 가질지라도 $ y \in \Lambda $ 에 대해 수축 목표 집합 $ \mathcal{D}_y(\alpha) $ 의 하우스도르프 차원은 $ s(\alpha) $ 와 같다.
• 만약 $ \overline{\Lambda} = [0,1] $ 이면, $[0,1]$ 의 모든 $ y $ 에 대해 $ \dim_H \mathcal{D}_y(\alpha) = s(\alpha) $ 공식이 성립한다.
• 모든 $ \alpha > 0 $ 에 대해 $ \dim_H \Lambda = \beta $ 이고 $ y \in \overline{\Lambda} \setminus \Lambda $ 인 확장 가능한 Markov 사상이 존재하며, 이 경우 $ \dim_H \mathcal{D}_y(\alpha) = 0 $ 이다. 이는 $ s(\alpha) > 0 $ 이지만도 성립한다.
• $ s(\alpha) > 0 $ 이지만 차원이 0일 수 있음을 보여주며, 이는 특정한 $ y $ 에 대해 압력 기반 차원과 실제 기하학적 차원 사이의 뚜렷한 차이를 보여준다.
• 명시적인 구성에 의해 특정 잠재력 $ \Phi $ 를 통해 정의된 집합 $ S_0(\Phi) $ 는 하우스도르프 차원이 0임을 보여주며, 이는 관련 압력 함수가 $ s(\Phi) > 0 $ 를 만족함에도 불구하고 성립한다.
• 실제로 $ \Phi(n,x) $ 가 거의 곱셈 함수일 경우, $ \dim_H \mathcal{S}_y(\Phi) = s(\Phi) $ 가 성립하며, 이는 $ T $ 가 가чёт Markov 사상이고 $ \Phi $ 가 거의 곱셈 조건을 만족할 때 성립한다.