[논문 리뷰] Shtuka cohomology and special values of Goss L-functions

M. Mornev|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 02.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 20인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 shtuka와 $ζ$-동형사상(cohomological framework)을 이용하여 임의의 계수환에 대한 Drinfeld 모듈러스에 대한 클래스 수 공식을 수립한다. Goss $L$-함수의 특수값과 조건자(regulators) 및 shtuka 모델의 코homology를 연결함으로써 Taelman의 클래스 수 공식을 일반화하며, shtuka 코homology와 추적 공식을 통해 $L(E^*,0) \cdot \det_A \operatorname{Lie}_E(R) = \det_F(\rho_E)(\det_A U_E)$를 증명한다.

ABSTRACT

Assuming everywhere good reduction we generalize the class number formula of Taelman to Drinfeld modules over arbitrary coefficient rings. In order to prove this formula we develop a theory of shtukas and their cohomology.

연구 동기 및 목표

• 계수환 $A = \mathbb{F}_q[t]$의 경우를 초월하여 임의의 계수환 $A$에 대해 Drinfeld 모듈러스의 Taelman 클래스 수 공식을 일반화하기 위해.
• 글로벌 및 로컬 모델에 대한 shtuka의 코hom로리의 이론을 개발하여 Goss $L$-함수의 특수값을 계산하기 위해.
• Drinfeld 모듈러스의 산술적 조건자와 $s=0$에서의 $L$-함수 특수값 사이의 정확한 연결 고리를 설정하기 위해.
• $\zeta$-동형사상이 추적 공식과 행렬식 항등식을 통해 $L$-값과 조건자를 어떻게 코어하는지 증명하기 위해.

제안 방법

• Dedekind 정역 $R$ 위의 Drinfeld 모듈러스 $E$에 관련된 글로벌 shtuka 모델 $\mathcal{M}$을 구성하며, 계수환은 $A$이다.
• 완비 Čech 코hom로리 및 컴acts지지 코hom로리 포함된 shtuka 코hom로리 이론을 사용하여 $\operatorname{R\Gamma}(C^\circ \times X, \mathcal{M})$와 그 쌍대를 계산한다.
• $\zeta$-동형사상과 조건자를 사용하여 $\mathcal{M}$과 그 쌍대 $\nabla\mathcal{M}$의 코hom로리 사이의 관계를 설정하고, 행렬식 항등식을 수립한다.
• Artinian 조건자와 오일러 곱을 위한 추적 공식을 적용하여 $\zeta$-동형사상이 $L$-값 $L(\mathcal{M}) = L(E^*,0)$를 통해 $L$-값과 연결됨을 보인다.
• 지수 함수와 Barsotti-Weil 형식 유사 공식을 사용하여 복합체 $U_E$와 리 대수 코hom로리 사이의 관계를 설정한다.
• 기저와 계수의 컴acts지지화를 적용하여 $n \gg 0$에 대해 $\mathcal{M}$을 $\mathfrak{e}^n$으로 휘감아, 코hom로리의 유한성과 호환성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Drinfeld 모듈러스의 클래스 수 공식은 어떻게 $A = \mathbb{F}_q[t]$에서 임의의 계수환 $A$로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 shtuka 코hom로리의 역할은 Goss $L$-함수의 특수값을 계산하는 데 어떤가?
• RQ3 shtuka 코hom로리의 $\zeta$-동형사상은 어떻게 특수값 $L(E^*,0)$을 코어하는가?
• RQ4 Arithmetic 조건자 $\rho_E$는 $\zeta$-동형사상을 통해 코hom로리적 표현으로서 행렬식으로 표현될 수 있는가?
• RQ5 글로벌 shtuka 모델의 코hom로리와 $s=0$에서의 $L$-값 사이의 정확한 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 $L(E^*,0) \cdot \det_A \operatorname{Lie}_E(R) = \det_F(\rho_E)(\det_A U_E)$를 증명하여 임의의 계수환에 대한 Drinfeld 모듈러스의 클래스 수 공식을 수립한다.
• 글로벌 shtuka 모델 $\mathcal{M}$에 대한 $\zeta$-동형사상 $\zeta$는 $\zeta = L(\mathcal{M}) \cdot \det_F(\rho)$를 만족하며, 여기서 $L(\mathcal{M}) = L(E^*,0)$이다.
• 글로벌 모델 $\mathcal{M}$의 코hom로리는 복합체 $U_E[-1]$과 리 대수 $\operatorname{Lie}_E(R)[-1]$를 계산하며, 코호모로지가 준위사상에 의해 조건자 $\rho$가 $\rho_E[-1]$와 일치함을 보인다.
• 적당히 큰 $n$에 대해, 휘감은 모델 $\mathfrak{e}^n\mathcal{M}$은 $\zeta_{\mathfrak{e}^n\mathcal{M}} = L(\mathfrak{e}^n\mathcal{M}) \cdot \det_F(\rho_{\mathfrak{e}^n\mathcal{M}})$를 만족하여 추적 공식을 적용할 수 있다.
• 조건자 $\rho_E$는 $F \otimes_A U_E[-1]$와 $\operatorname{Lie}_E(K)[-1]$ 사이의 준위사상으로서 실현되며, 그 행렬식은 $L$-값을 코어한다.
• 글로벌 모델의 구성과 그 코호모로리의 분석은 행렬식 함자와 $\zeta$-동형사상을 통해 특수값 $L(E^*,0)$의 코호모로지적 해석을 제공한다.