[논문 리뷰] Shuffle-compatible permutation statistics

Ira M. Gessel, Yan Zhuang|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 02.

Advanced Combinatorial Mathematics인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 순열 통계량의 셔플 호환성 개념을 체계화하며, 서로소 순열의 셔플링에서 통계량의 행동을 기록하는 셔플 대수 프레임워크를 제안한다. 내림막대 집합과 길이에만 의존하는 내림막대 통계량이 셔플 호환성임을 증명하며, 스탠리, 게셀, 스템브릿지 등이 이전에 확보한 결과들을 쿼시심미트릭 함수와 비가환 대칭 함수와의 연결을 통해 통합하고 확장한다. 또한 des, maj, pk, lpk 등 여러 통계량과 그 공동 분포에 대한 셔플 대수의 명시적 기술을 제공한다.

ABSTRACT

Since the early work of Richard Stanley, it has been observed that several permutation statistics have a remarkable property with respect to shuffles of permutations. We formalize this notion of a shuffle-compatible permutation statistic and introduce the shuffle algebra of a shuffle-compatible permutation statistic, which encodes the distribution of the statistic over shuffles of permutations. This paper develops a theory of shuffle-compatibility for descent statistics (statistics that depend only on the descent set and length) which has close connections to the theory of $P$-partitions, quasisymmetric functions, and noncommutative symmetric functions. We use our framework to prove that many descent statistics are shuffle-compatible and to give explicit descriptions of their shuffle algebras, thus unifying past results of Stanley, Gessel, Stembridge, Aguiar-Bergeron-Nyman, and Petersen.

연구 동기 및 목표

• 내림막대 집합과 길이에만 의존하는 내림막대 통계량에 대한 셔플 호환성의 개념을 체계화하는 것.
• 서로소 순열의 셔플링에 대한 통계량의 분포를 기록하는 셔플 대수 프레임워크를 개발하는 것.
• 스탠리의 셔플링 정리와 게셀, 스템브릿지, 아구이아르–버지에론–니먼의 결과를 통합하고 일반화하는 것.
• des, maj, pk, lpk 등의 핵심 통계량과 그 공동 분포에 대한 셔플 대수의 명시적 기술을 확립하는 것.
• 셔플 호환성과 더 깊은 대수적 구조, 특히 P-분할, 쿼시심미트릭 함수, 비가환 대칭 함수 사이의 관계를 탐색하는 것.

제안 방법

• 통계량의 셔플 대수를 정의함으로써 셔플 호환성의 개념을 도입한다. 이는 통계량에 의해 이미지화된 순열들로 생성되는 대수이며, 곱셈은 셔플링에 의해 유도된다.
• 내림막대 집합 셔플 대수 QSym를 기초 구조로 사용하여, 내림막대 집합과 그 세분화가 내림막대 통계량의 셔플 대수를 생성함을 보인다.
• 비가환 대칭 함수와 쿼시심미트릭 함수 사이의 딱딱함을 적용하여 (pk, des)와 (lpk, des)와 같은 공동 통계량의 셔플 호환성 결과를 도출한다.
• 비가환 대칭 함수 내의 모노이드 유사 원소의 사용을 포함한 이분형 및 대수적 기법을 활용하여 복잡한 통계량의 셔플 호환성을 증명한다.
• q-이항계수와 주요 지수 생성함수에 관한 알려진 항등식을 활용하여 셔플 분포에 대한 명시적 공식을 유도한다.
• P-분할 이론과 쿼시심미트릭 함수의 기본 정리( fundamental theorem of quasisymmetric functions)를 활용하여 내림막대 기반 통계량의 셔플 대수를 특성화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어느 내림막대 통계량이 셔플 호환성이며, 그들의 셔플 대수를 묘사하는 대수적 구조는 무엇인가?
• RQ2 공동 통계량인 (des, maj), (pk, des), (lpk, des)는 셔플링에서 어떻게 행동하며, 그에 대응하는 셔플 대수는 무엇인가?
• RQ3 셔플 호환성과 쿼시심미트릭 함수, 비가환 대칭 함수의 대수적 구조 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ4 r-동치와 c-동치와 같은 대칭성은 통계량의 셔플 대수에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 통계량의 셔플 대수는 명시적으로 계산될 수 있으며, n차 동차 성분에서의 차원은 얼마인가?

주요 결과

• 내림막대 집합 통계량은 셔플 호환성이며, 그 셔플 대수는 쿼시심미트릭 함수 대수와 동형이며, 차수 n에서 차원이 2^{n-1}이다.
• 내림막대 수 des는 셔플 호환성이며, 그 셔플 대수의 차수 n에서 차원은 n이며, 생성함수는 유리함수이다.
• 주요 지수 maj와 그 보수 comaj는 셔플 호환성이며, 그 셔플 대수의 차수 n에서 차원은 (n choose 2) + 1이다.
• 공동 통계량 (des, maj)는 셔플 호환성이며, 그 셔플 대수의 차수 n에서 차원은 (n choose 3) + n이며, 게셀과 스템브릿지의 추측을 확인한다.
• 피크 집합 pk와 그 변형들(값, epk, lpk, rpk)은 셔플 호환성이며, (pk, des)의 셔플 대수의 차원은 floor((n+1)^2/4)이며, (lpk, des)의 셔플 대수의 차원은 floor(n^2/4) + 1이다.
• udr 통계량(역순으로 최대값이 아닌 오른쪽에서 왼쪽으로의 최대값)의 셔플 대수의 차원은 n이며, 공동 통계량 (udr, des)의 차원은 (n choose 2) + 1이며, 이는 셔플 호환성을 확인한다.