[논문 리뷰] Siegel metric and curvature of the moduli space of curves

Elisabetta Colombo, Paola Frediani|ArXiv.org|2008. 05. 22.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 10인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $M_g$의 모듈리 공간 위의 시겔 메트릭을 연구하며, 이는 주로 편평한 편의 아벨 다양체의 모듈리 공간 $A_g$로 가는 주기 지ap을 통해 유도된다. 시겔 메트릭의 헬름홀로닉 섹션 곡률이 스피퍼 변형을 따라 명시적인 공식으로 표현되며, 이는 $A_g$의 곡률과 제2의 가우스 사상에 의해 기술된다. 또한 시겔 메트릭의 켈러 형식이 델리그레-멈포드 컴actsification $¯{M}_g$ 위에 닫힌 코어로 확장되며, 그 코homology 클래스는 $¯{\pi}\lambda$임을 보여주며, 여기서 $\lambda$는 허지 번들의 첫 번째 체르니클 클래스이다.

ABSTRACT

We study the curvature of the moduli space M_g of curves of genus g with the Siegel metric induced by the period map. We give an explicit formula for the holomorphic sectional curvature of M_g along a Schiffer variation at a point P on the curve X, in terms of the holomorphic sectional curvature of A_g and the second Gaussian map. Finally we extend the Kaehler form of the Siegel metric as a closed current on the Deligne-Mumford compatification of M_g and we determine its cohomology class as a multiple of the first Chern class of the Hodge bundle.

연구 동기 및 목표

• 모듈리 공간 $M_g$의 곡률 성질을 연구하며, 이는 주기 지압을 통해 $A_g$로 가는 시겔 메트릭에 의해 유도된다.
• 곡선 $X$ 위의 점 $P$에서 시퍼 변형 $\xi_P$를 따라 $M_g$의 헬름홀로닉 섹션 곡률에 대한 명시적 공식을 유도한다.
• 델리그레-멈포드 컴팩티피케이션 $¯{M}_g$ 위에서 닫힌 코어로 확장된 시겔 메트릭의 켈러 형식의 코homology 클래스를 규명한다.
• 특수 점—웨이어스트라스 점과 삼중곡선의 분기점—에서 $M_g$의 곡률이 $A_g$의 곡률과 일치하는 조건을 분석한다.

제안 방법

• 시겔 메트릭은 $M_g$ 위에서 주기 지압 $j: M_g \to A_g$를 통해 유도되며, 시겔 상반평면 $H_g$ 위의 $Sp(2g,\mathbb{R})$-불변 메트릭을 끌어올린다.
• $M_g^{(n)}$ 위의 시겔 메트릭 곡률은 임bedding $j^{(n)}: M_g^{(n)} \to A_g^{(n)}$의 제2 기본형식을 사용하여 계산되며, 이는 제2의 가우스 사상 $\mu_2: I_2(K_X) \to H^0(X, 4K_X)$를 끌어올린다.
• 시퍼 변형 $\xi_P$를 따라 $M_g^{(n)}$의 헬름홀로닉 섹션 곡률은 $A_g^{(n)}$의 곡률과 $\mu_2$의 노름에 의해 표현된다.
• 켈러 형식은 $¯{A}_g^{(n)}$ 위의 확장된 허지 메트릭 코어를 통해 주기 지압의 확장 $¯{j}: ¯{M}_g^{(n)} \to ¯{A}_g^{(n)}$를 통해 $¯{M}_g$ 위에 닫힌 코어로 확장된다.
• 확장된 켈러 형식의 코homology 클래스는 안정 곡선의 1-매개변수 가중족(고정된 $g-1$-곡선에 가변적인 타원곡선이 부착된 경우)에 대해 평가하여 울프트의 사이클을 이용해 계산된다.
• 공식 $[\omega] = c\lambda$에서 상수 $c$는 기본 영역 위의 적분을 비교하여 결정되며, 결과적으로 $c = \pi$이므로 $[\omega] = \pi\lambda$가 된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시퍼 변형 $\xi_P$를 따라 $M_g$의 시겔 메트릭의 헬름홀로닉 섹션 곡률은 $A_g$의 그것과 어떻게 비교되는가?
• RQ2 곡선 $X$ 위의 점 $P$에 대해 어떤 조건에서 $M_g$의 $\xi_P$를 따라 헬름홀로닉 섹션 곡률이 $A_g$의 그것과 같아지는가?
• RQ3 시겔 메트릭의 켈러 형식은 델리그레-멈포드 컴팩티피케이션 $¯{M}_g$로 닫힌 코어로 확장될 수 있는가? 만약 가능하다면, 그 코homology 클래스는 무엇인가?
• RQ4 시겔 메트릭의 곡률과 제2의 가우스 사상 $\mu_2$ 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ5 $\u00af{M}_g$의 경계 근처에서 $M_g$의 곡률은 점점 어떻게 행동하는가?

주요 결과

• 시퍼 변형 $\xi_P$를 따라 $M_g$의 헬름홀로닉 섹션 곡률은 $P$가 하이퍼에르미티안 곡선의 웨이어스트라스 점이거나 삼중곡선의 분기점이 아닌 한, 항상 $A_g$의 곡률보다 작다.
• 하이퍼에르미티안 곡선의 웨이어스트라스 점 또는 삼중곡선의 분기점인 특수한 경우에, $M_g$의 $\xi_P$를 따라 헬름홀로닉 섹션 곡률은 정확히 $-1$이며, 이는 $A_g$의 곡률과 정확히 일치한다.
• 시겔 메트릭의 켈러 형식은 델리그레-멈포드 컴팩티피케이션 $¯{M}_g$ 위에 닫힌 코어로 확장되며, $H^2(\overline{M}_g, \mathbb{C})$ 내에 잘 정의된 코homology 클래스를 정의한다.
• 확장된 켈러 형식의 코homology 클래스는 $\pi\lambda$이며, 여기서 $\lambda$는 $¯{M}_g$ 위의 허지 번들의 첫 번째 체르니클 클래스이다.
• 주기 지압 $j^{(n)}: M_g^{(n)} \to A_g^{(n)}$의 제2 기본형식은 모든 비하이퍼에르미티안 곡선에서 0이 아니며, 곡률 공식은 제2의 가우스 사상 $\mu_2$의 노름에 명시적으로 의존한다.
• 곡률 계산은 $¯{A}_g^{(n)}$ 위의 허지 메트릭이 로그 특이성을 가진 채로 확장된 데 기반하며, 이는 관련 코어를 $¯{M}_g^{(n)}$ 위로 끌어올리는 데 유용하다.