[논문 리뷰] Siegel Zeros and Sarnak's Conjecture

Jake Chinis|arXiv (Cornell University)|2021. 05. 31.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 13인용 수 7

한 줄 요약

Siegel 제로의 존재를 가정할 경우, 이 논문은 자연수의 부분수열을 따라 리우빌 함수의 $k$-점 상관관계에 대한 초우라의 추측이 성립함을 증명한다. 디리클레 특성에 의한 곱셈적 근사와 여과 이론적 방법을 사용하여, 저자들은 리우빌 함수가 어떤 최소 엔트로피 수열과 점 渐진적으로 수직임을 확립하며, 동일한 가정 하에 사르나크의 추측을 확인한다.

ABSTRACT

Assuming the existence of Siegel zeros, we prove that there exists an increasing sequence of positive integers for which Chowla's Conjecture on $k$-point correlations of the Liouville function holds. This extends work of Germán and Kátai, where they studied the case $k=2$ under identical hypotheses. An immediate corollary, which follows from a well-known argument due to Sarnak, is that Sarnak's Conjecture on Möbius disjointness holds. More precisely, assuming the existence of Siegel zeros, there exists a subsequence of the natural numbers for which the Liouville function is asymptotically orthogonal to any sequence of topological entropy zero.

연구 동기 및 목표

• Siegel 제로의 존재를 가정할 경우, 게르만과 캅타이의 2점 상관관계 결과를 일반적인 $k$-점 상관관계로 확장한다.
• Siegel 제로가 존재할 경우, 리우빌 함수의 $k$-점 상관관계가 부분수열을 따라 상쇄 작용을 보임을 확립한다.
• 기존의 초우라의 추측에서의 감소 추론을 통해, 동일한 가정 하에 사르나크의 추측(모비우스 함수의 이산성)이 성립함을 보인다.
• 작은 소수에서 리우빌 함수와 일치하고, 큰 소수에서 디리클레 특성과 일치하는 하이브리드 곱셈 함수를 통해 리우빌 함수의 정밀한 근사를 개선한다.
• 여과 이론적 추정치의 오차 항을 $r$, $A_x$, $u$를 포함한 철저한 매개변수 선택을 통해 최적화한다.

제안 방법

• 리우빌 함수 $\lambda$ 를 소수 $p \leq r$ 에서 $\lambda$ 와 일치하고, $p > r$ 에서는 실수의 원시 디리클레 특성 $\chi_\ell$ 과 일치하는 하이브리드 곱셈 함수 $\lambda_r$ 로 근사한다.
• 특성 $\lambda_r$ 의 구조를 이용하여 $\lambda$ 의 $k$-점 상관관계를 특성 합으로 연결하며, Siegel 제로 가정 하에 알려진 추정치를 사용해 이를 유계로 만든다.
• 작은 소수 인수를 가진 정수의 기여를 제어하기 위해 사전 여과 추론을 적용하며, $\lambda_r$ 의 곱셈적 구조를 활용한다.
• 매개변수 $u$ 를 통해 여과 과정의 오차를 제어하며, 오차 항이 $\ll_k x u^{-u/2}$ 임을 보이고, 이는 $u \asymp (\log\log\eta)^{1/2}(\log\eta)^{1/12}$ 일 때 무시 가능해진다.
• 경쟁 오차 항을 균형 잡기 위해 $r = x^{1/\alpha}$, $A_x$, $u$ 의 매개변수를 최적화하여, 최적의 감쇠를 위한 $\alpha = (\log\log\eta)^{1/2}(\log\eta)^{1/12}$ 를 얻는다.
• 주어진 곱 $\prod_{\max h_i < p \leq r} (1 - \frac{k+1}{p}) \ll_k 1$ 이며, 큰 소수에 대한 오일러乘積의 수렴성에 기반하여 주항목을 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Siegel 제로의 존재를 가정할 경우, 리우빌 함수의 $k$-점 상관관계에 대한 초우라의 추측이 성립하는가?
• RQ2 게르만과 캅타이의 $k=2$ 경우에 사용한 방법이 동일한 가정 하에 일반적인 $k \geq 3$ 로 확장 가능한가?
• RQ3 Siegel 제로의 존재가 사르나크의 추측에서처럼 모비우스 함수의 이산성으로 이르는 정도는 어느 정도인가?
• RQ4 고차 상관관계를 제어하기 위해 리우빌 함수를 곱셈 함수의 조합으로 효과적으로 근사할 수 있는가?
• RQ5 여과 이론적 근사에서 오차 항을 최소화하는 데 가장 적합한 매개변수 $r$, $A_x$, $u$ 는 무엇인가?

주요 결과

• Siegel 제로의 존재가 $\eta_\ell > \exp\exp(30)$ 를 만족할 경우, 부분수열 $x \in [q_\ell^{10}, q_\ell^{(\log\log\eta_\ell)/3}]$ 에서 $k$-점 상관관계 합 $\sum_{n \leq x} \lambda(n+h_1)\cdots\lambda(n+h_k) = o_k(x)$ 가 성립한다.
• 상관관계 추정치의 오차 항은 $\ll_k x u^{-u/2}$ 로 유계이며, $u \asymp (\log\log\eta)^{1/2}(\log\eta)^{1/12}$ 일 때 $o(x)$ 가 된다.
• 주항목은 오일러 곱의 수렴성에 기반하여 $\prod_{\max h_i < p \leq r} (1 - \frac{k+1}{p})$ 를 통해 제어되며, 이는 $\ll_k 1$ 이다.
• 리우빌 함수 $\lambda$ 를 $\lambda_r$ 로 근사함으로써 상관관계 합이 특성 합으로 유도되며, Siegel 제로 가정 하에 이는 작다.
• 결과적으로 사르나크의 추측이 도출된다: $\mathbb{N}$ 의 부분수열이 존재하여 $\lambda$ 는 어떤 최소 엔트로피 수열과 점 渐진적으로 수직이다.
• 최적의 매개변수 선택인 $\alpha = (\log\log\eta)^{1/2}(\log\eta)^{1/12}$ 는 여과 오차와 특성 합 추정치 오차를 균형 잡아 주항목이 오차를 지배하도록 보장한다.