[논문 리뷰] Sign patterns of the Liouville and Möbius functions

Kaisa Matomäki, Maksym Radziwiłł외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 09. 04.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 6인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 최근의 곱셈적 함수의 짧은 평균값에 관한 결과를 활용하여, 길이가 3 이하인 리우빌 함수와 모비우스 함수의 모든 부호 패턴이 양의 하한 자연 밀도를 가짐을 입증한다. 리우빌 함수의 경우, 길이가 3인 모든 여덟 가지 부호 패턴이 양의 하한 밀도를 가지며, 모비우스 함수의 경우 길이가 2인 모든 아홉 가지 부호 패턴이 그러하다. 이는 특히 증명 과정에서 무작위 그래프의 연결성에 대한 새로운 응용을 포함한다.

ABSTRACT

Let $λ$ and $μ$ denote the Liouville and Möbius functions respectively. Hildebrand showed that all eight possible sign patterns for $(λ(n), λ(n+1), λ(n+2))$ occur infinitely often. By using the recent result of the first two authors on mean values of multiplicative functions in short intervals, we strengthen Hildebrand's result by proving that each of these eight sign patterns occur with positive lower natural density. We also obtain an analogous result for the nine possible sign patterns for $(μ(n), μ(n+1))$. A new feature in the latter argument is the need to demonstrate that a certain random graph is almost surely connected.

연구 동기 및 목표

• 리우빌 함수의 길이 3 부호 패턴이 무한히 발생한다는 힐데브라인의 결과를 강화하여, 이들이 양의 하한 자연 밀도를 가짐을 보이는 것.
• 이 결과를 모비우스 함수로 확장하여, 길이 2의 모든 아홉 가지 부호 패턴이 양의 하한 밀도를 가짐을 증명하는 것.
• 극단적인 부호 패턴(예: +++, ---)이 리우빌 함수에서 나타나지 않는다는 가능성을 제거하기 위해 최근의 곱셈적 함수의 짧은 평균값 결과를 활용하는 것.
• 모비우스 함수의 0 값으로 인해 발생하는 복잡성에 대처하기 위해 새로운 방법론 도구를 도입하는 것—특정 무작위 그래프의 거의 확실한 연결성을 증명함으로써, 계산의 주항목이 오차 항들을 지배하도록 보장하는 것.

제안 방법

• 마토마키와 라드지빌의 최근 결과를 활용하여, 짧은 간격 내 곱셈적 함수의 평균값을 제어함으로써 부호 패턴의 분포를 제어한다.
• 중앙 표시 기호(베이)를 사용한 부호 패턴 표기 체계를 도입하여, 곱셈적 함수 값의 수열에서 관심 있는 위치를 나타낸다.
• 특히 큰 상한 $ C $ 이하의 소수에 대해 고차수 소인수의 영향을 상쇄하기 위해 체 기법을 적용한다.
• Chinese Remainder Theorem를 사용하여 $ ilde{ ho}^2 $ 모듈로에서 허용 가능한 잔여류의 수를 세며, 여기서 $ ilde{ ho} = \prod_{p \leq C} p $ 이다. 이는 서로소 조건과 제곱수 나눗셈 조건을 보장한다.
• Brun-Titchmarsh 부등식을 적용하여 산술적 등차수열 내 소수의 수를 상한으로 제시하며, 이는 체 기법에서 주항목의 크기를 추정하는 데 핵심적이다.
• 특정 무작위 그래프의 거의 확실한 연결성을 증명함으로써, 계산의 주항목이 오차 항들을 지배함을 보장하는 새로운 모델을 도입한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연속된 세 정수에서 리우빌 함수의 여덟 가지 가능한 부호 패턴이 모두 양의 하한 자연 밀도를 가지는가?
• RQ2 연속된 두 정수에서 모비우스 함수의 아홉 가지 가능한 부호 패턴이 모두 양의 하한 자연 밀도를 가지는가?
• RQ3 최근의 곱셈적 함수에 대한 짧은 평균값 결과를 활용하여, 극단적인 부호 패턴(예: +++, ---)이 리우빌 함수에서 결여될 가능성은 배제될 수 있는가?
• RQ4 모비우스 함수의 0 값은 부호 패턴 분석에 어떻게 영향을 미치며, 이를 다루기 위해 어떤 새로운 조합적 도구가 필요한가?
• RQ5 특정 무작위 그래프의 연결성은 부호 패턴 빈도 계산에서 주항목이 오차 항들을 지배하기 위해 충분한 조건인가?

주요 결과

• 연속된 세 정수에서 리우빌 함수의 여덟 가지 부호 패턴이 모두 양의 하한 자연 밀도를 가지며, 힐데브라인의 무한성 결과를 강화한다.
• 연속된 두 정수에서 모비우스 함수의 아홉 가지 부호 패턴이 모두 양의 하한 자연 밀도를 가지며, 이는 이 함수에 대해 새로운 결과이다.
• 매개수 $ C $ 가 충분히 클 경우, 부호 패턴 수세기의 주항목이 오차 항들을 지배한다. 이는 양의 하한 밀도를 보장한다.
• 증명은 특정 무작위 그래프가 거의 확실히 연결됨을 보여야 하며, 이는 모비우스 함수의 경우 허용 가능한 해의 구조를 제어하는 데 필수적이다.
• 하한 밀도는 $ C $ 와 무관한 양의 상수로 아래에서 유계이며, 이 상수는 $ C $ 에 대해 일관되게 유지되지만, Banach 극한의 사용으로 인해 명시적 상한은 도출되지 않았다.
• 이 방법은 소수 2, 3, 5 에서 $ \lambda $ 와 일치하고, 60의 약수에 대한 산술적 등차수열에서 소수 정리가 성립하는 완전 곱셈적 함수 $ f: \mathbb{N} \to \{-1,+1\} $ 로도 확장 가능하다.