[논문 리뷰] Signature pairs of positive polynomials

Jennifer Halfpap, Jiř́í Lebl|arXiv (Cornell University)|2012. 11. 05.

Mathematical functions and polynomials참고 문헌 11인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 $ ot eq$를 곱한 후 제곱 노름이 되는 이항형 다항식에 대해 부호 쌍의 비율에 대한 효과적인 경계를 설정하며, $d=1$에 대해 정확한 경계를, $d>1$에 대해 최적의 순서 경계를 증명한다. $\Psi_d$ 클래스가 $d$에 따라 엄격히 증가함을 보이고, $C_n d^{n-1}$만큼 증가하는 비율 $N_-/N_+$에 대한 명시적 하한을 제시하여 고정된 $n$에 대해 $d$에 대한 올바른 渐近 순서를 확인한다. 결과적으로 퀼렌의 정리를 정량화하여, 양의 성질을 가진다 하더라도 헤르미트 제곱합의 구조를 가지려면 최소한의 $d$가 필요함을 밝힌다.

ABSTRACT

A well-known theorem of Quillen says that if $r(z,\bar{z})$ is a bihomogeneous polynomial on ${\mathbb{C}}^n$ positive on the sphere, then there exists $d$ such that $r(z,\bar{z}){\lVert z Vert}^{2d}$ is a squared norm. We obtain effective bounds relating this $d$ to the signature of $r$. We obtain the sharp bound for $d=1$, and for $d > 1$ we obtain a bound that is of the correct order as a function of $d$ for fixed $n$. The current work adds to an extensive literature on positivity classes for real polynomials. The classes $Ψ_d$ of polynomials for which $r(z,\bar{z}){\lVert z Vert}^{2d}$ is a squared norm interpolate between polynomials positive on the sphere and those that are Hermitian sums of squares.

연구 동기 및 목표

• 이항형 다항식이 구면에서 양의 성질을 가지면 $\|z\|^{2d}$를 곱한 후 헤르미트 제곱합의 형태로 표현될 수 있도록 하는 최소 $d$를 정량화함으로써, 퀼렌의 정리를 효과적인 경계로 확장하는 것.
• 특히 $d=1$과 $d>1$일 때, $\Psi_d$에 속하는 다항식에 대해 부정적 부호 쌍과 정적 부호 쌍의 비율 $N_-/N_+$에 대한 정확한 상한을 결정하는 것.
• 모든 $d \geq 0$에 대해 $\Psi_d \subsetneq \Psi_{d+1}$임을 보여주어 $\Psi_d$ 클래스가 엄격히 증가함을 증명하는 것.
• 고정된 $n$에 대해 비율 $N_-/N_+$가 $d$의 함수로 어떻게 渐近적으로 성장하는지 올바른 순서를 규명하고, 이 비율이 $\Theta(d^{n-1})$임을 증명하는 것.

제안 방법

• 다항식 $r$이 $r(z,\bar{z})\|z\|^{2d}$가 헤르미트 제곱합이 되는 이항형 다항식으로서, $\Psi_d$의 양의 성질 클래스를 정의한다.
• 실수 다항식의 부호 쌍 $(N_+, N_-)$을 사용하여 양의 및 부정의 헤르미트 제곱합으로의 분해를 특성화한다.
• 선형 형식 $\ell$에 대해 $p \cdot \ell^d$의 계수 공간에서 귀납적 구성 기법을 적용하여, 곱의 계수의 부호 패턴을 제어한다.
• 계수 패턴을 제어하는 다항식 $p$를 구성하여, $x_2$의 거듭제곱으로 인덱싱된 층들에 걸쳐 부정적 및 정적 계수 패턴을 제어함으로써, $d$-승의 계수에 대해 비음성 계수를 확보하고, $N_-/N_+$를 최대화한다.
• 재귀 전략을 사용한다: $d>1$일 경우 계수 다이어그램의 층들에 대해 양의 계수를 매 $\nu$-번째 층에만 배치하여 $N_-/N_+$ 비율을 향상시킨다.
• 기저 사례 $C_2 = 1/2$와 함께 재귀식 $C_n = C_{n-1}/2^{n-1}$을 사용하여 $n$에 대한 귀납법으로 하한 $C_n d^{n-1}$을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다항식이 $\Psi_1$에 속할 때, 비율 $N_-/N_+$에 대한 정확한 상한은 무엇인가요?
• RQ2 $d > 1$일 때, 고정된 $n$에 대해 $d$의 함수로 최대 $N_-/N_+$ 비율의 올바른 渐近 순서는 무엇인가요?
• RQ3 클래스 $\Psi_d$는 엄격히 분리될 수 있는가, 즉 모든 $d \geq 0$에 대해 $\Psi_d \subsetneq \Psi_{d+1}$인가요?
• RQ4 엄격한 포함성을 보여주기 위해 $\Psi_{d+1} \setminus \Psi_d$에 속하는 다항식을 효과적으로 구성할 수 있는가요?
• RQ5 구면에서 양의 성질을 가진 다항식이 $\Psi_d$에 속하려면 최소한의 $d$는 얼마이며, 이는 다항식의 부호에 따라 어떻게 달라지나요?

주요 결과

• $d=1$일 때, 경계 $N_-/N_+ < n-1$는 정확하며, 임의의 $\varepsilon > 0$에 대해 $N_-/N_+ \geq n-1 - \varepsilon$를 만족하는 다항식이 존재한다.
• $d > 1$일 때, 경계 $N_-/N_+ \leq \binom{n-1+d}{d} - 1$가 성립하며, 이 경계는 고정된 $n$에 대해 올바른 순서 $\Theta(d^{n-1})$를 가진다.
• 모든 $d$에 대해 $N_-/N_+ \geq C_n d^{n-1}$를 만족하는 다항식이 $\Psi_d$에 존재하는 상수 $C_n > 0$가 존재하며, 이는 경계의 순서가 최적임을 증명한다.
• $\Psi_d$ 클래스는 엄격히 증가한다: $\Psi_0 \subsetneq \Psi_1 \subsetneq \cdots$, 이는 모든 $d$에 대해 $\Psi_{d+1} \setminus \Psi_d$에 속하는 다항식을 구성함으로써 입증된다.
• $C_n$의 渐近 성장률은 $C_n = 1/2^{n(n-1)/2}$이며, 이는 기저 사례 $C_2 = 1/2$와 함께 재귀식 $C_n = C_{n-1}/2^{n-1}$에서 유도된다.
• 층 구조 계수 패턴과 교차하는 양의 층을 사용한 구성 방법은 비율 $N_-/N_+$에 대해 최적의 $d^{n-1}$ 성장률을 달성한다.