[논문 리뷰] Signature SDEs from an affine and polynomial perspective

Christa Cuchiero, Sara Svaluto‐Ferro외 1명|arXiv (Cornell University)|2023. 02. 02.

Stochastic processes and financial applications인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 전체 또는 해석적 함수의 전체 서명에 의해 구동되는 경로에 의존하는 이토 과정의 보편적 클래스로 서명 확률미분방정식(SDE)을 도입한다. 과정을 텐서 대수로 올리고, 그룹 유사 원소에서의 애프린 또는 다항 과정임을 보여줌으로써, 리카티 및 선형 상미분방정식을 통한 푸리에-라플라스 변환과 전체 함수의 기댓값에 대한 명시적 멱급수 전개를 유도한다. 이는 전체 경로에 대한 법칙 특성화를 가능하게 한다.

ABSTRACT

Signature stochastic differential equations (SDEs) constitute a large class of stochastic processes, here driven by Brownian motions, whose characteristics are linear maps of their own signature, i.e. of iterated integrals of the process with itself, and allow therefore for a generic path dependence. We show that their prolongation with the corresponding signature is an affine and polynomial process taking values in the set of group-like elements of the extended tensor algebra. By relying on the duality theory for affine or polynomial processes, we obtain explicit formulas in terms of converging power series for the Fourier-Laplace transform and the expected value of entire functions of the signature process' marginals. The coefficients of these power series are solutions of extended tensor algebra valued Riccati and linear ordinary differential equations (ODEs), respectively, whose vector fields can be expressed in terms of the characteristics of the corresponding SDEs. We thus construct a class of stochastic processes which is universal (in a sense specified in the introduction) within Ito-diffusions with path-dependent characteristics and allows for an explicit characterization of the Fourier-Laplace transform and hence the full law on path space. The practical applicability of this affine and polynomial approach is illustrated by several numerical examples.

연구 동기 및 목표

• 서명 SDE를 사용하여 경로에 의존하는 이토 과정에 대한 보편적 프레임워크를 수립하기 위해.
• 그러한 SDE의 서명 과정이 확장된 텐서 대수에서 애프린 또는 다항 과정을 이룬다는 것을 보여주기 위해.
• 경로 공간 위의 전체 함수의 기댓값과 푸리에-라플라스 변환에 대한 명시적 멱급수 표현을 도출하기 위해.
• 애프린 및 다항 과정의 쌍대 이론을 통해 경로에 의존하는 과정의 분석을 통합하기 위해.
• 수치 예제와 일차원 특수 케이스를 통한 실용적 타당성을 입증하기 위해.

제안 방법

• 서명 SDE를 확장된 텐서 대수로 올리며, 여기서 과정은 군 유사 원소에 값을 가진다.
• 쌍대 공간에서 필요한 생성자 조건을 검증하여 연장된 과정이 애프린 또는 다항 과정임을 증명한다.
• 애프린 및 다항 과정의 쌍대 이론을 사용하여 푸리에-라플라스 변환에 대한 명시적 공식을 멱급수 형태로 도출한다.
• 멱급수의 계수들이 애프린 케이스의 경우 확장된 리카티 상미분방정식, 다항 케이스의 경우 선형 상미분방정식을 만족함을 보인다.
• 이 상미분방정식의 벡터장들을 원래 서명 SDE의 전체 특성으로 표현한다.
• 실해석적 특성을 가진 일차원 SDE에 이 프레임워크를 적용하여, 고전 결과가 특수 케이스로 복구됨을 보인다.

Figure 1: ${\mathbb{E}}[\exp(-\exp(X_{t}))]$ computed with Scheme 6.3 for $K=20$ .

실험 결과

연구 질문

• RQ1 서명 SDE는 서명 연장에 의해 애프린 또는 다항 과정의 클래스에 포함될 수 있는가?
• RQ2 서명 과정의 푸리에-라플라스 변환에 대한 명시적 공식은 무엇인가?
• RQ3 이러한 과정에 대해 경로 공간 위의 전체 함수의 기댓값은 어떻게 특성화할 수 있는가?
• RQ4 애프린 및 다항 케이스에서 멱급수 전개의 계수를 지배하는 상미분방정식 시스템은 무엇인가?
• RQ5 이 프레임워크는 일차원 실해석적 케이스에서 고전 결과를 어떻게 복구하는가?

주요 결과

• 서명 SDE의 서명 과정은 확장된 텐서 대수에서 군 유사 원소에 값을 가지는 애프린 또는 다항 과정이다.
• 푸리에-라플라스 변환은 서명 SDE의 특성으로 유도된 리카티 상미분방정식을 만족하는 계수를 가진 명시적 멱급수 전개를 갖는다.
• 다항 케이스에서 경로 공간 위의 전체 함수의 기댓값은 선형 상미분방정식을 만족하는 계수를 가진 멱급수로 특성화된다.
• 이 프레임워크는 서명 SDE가 실해석적 계수를 가진 고전적 SDE로 축소되는 일차원 케이스에서 고전 결과를 복구한다.
• 수치 예제들은 이 접근의 실용적 타당성을 확인하며, 일차원 브라운 운동의 리카티 상미분방정식 해법을 포함한다.
• 쌍대 이론을 통해 이 명시적 급수 표현을 통해 경로 공간 상의 법칙을 완전히 특성화할 수 있다.

Figure 2: ${\mathbb{E}}[\exp(-X_{t}^{4}/4!)]$ computed with Scheme 6.3 for different $K$ s. The approximations ${\mathbb{E}}[\exp(-X_{t}^{4}/4!)]$ of are just represented until their explosion time.