[논문 리뷰] Signed Simplicial Decomposition and Overlay of n-D Polytope Complexes

Norbert W. Paul|arXiv (Cornell University)|2012. 05. 25.

Computational Geometry and Mesh Generation참고 문헌 13인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 기하학적 임베딩에 의존하지 않는 조합론적, 기하학적 독립적인 방법을 제안하며, 부호가 붙은 단체 분해를 통해 n차원 다면체 복합체를 오버레이한다. 이는 명시적 삼등분 분할 없이도 복잡한 교차를 효율적으로 계산할 수 있도록 한다. 이 방법은 볼록이 아닌 다면체를 방향이 부여된 단체로 분해하고, 간소화된 활성집합 방법을 통해 그들의 교차를 계산하며, 부호가 붙은 감도 수를 사용하여 결과를 재구성함으로써 차원에 독립적인 오버레이를 달성하며 기하학적 복잡도를 감소시킨다.

ABSTRACT

Polytope complexes are the generalisation of polygon meshes in geo-information systems (GIS) to arbitrary dimension, and a natural concept for accessing spatio-temporal information. Complexes of each dimension have a straight-forward dimension-independent database representation called "Relational Complex". Accordingly, complex overlay is the corresponding generalisation of map overlay in GIS to arbitrary dimension. Such overlay can be computed by partitioning the cells into simplices, intersecting these and finally combine their intersections into the resulting overlay complex. Simplex partitioning, however, can expensive in dimension higher than 2. In the case of polytope complex overlay /signed/ simplicial decomposition is an alternative. This paper presents a purely combinatoric polytope complex decomposition which ignores geometry. In particular, this method is also a decomposition method for /non-convex/ polytopes. Geometric n-D-simplex intersection is then done by a simplified active-set-method---a well-known numerical optimisation method. "Summing" up the simplex intersections then yields the desired overlay complex.

연구 동기 및 목표

• n차원 지ap 오버레이 연산에서 기하학적 삼등분 분할의 높은 계산 비용을 해결하기 위해.
• 공간 데이터베이스에서 비볼록 다면체 복합체의 효율적이고 차원에 독립적인 오버레이를 가능하게 하기 위해.
• 기하학적 복잡도를 피하면서도 위상적 정확성을 유지하는 조합론적 분해 방법을 개발하기 위해.
• 관계형 데이터 모델과 위상적 인cidense 관계를 이용하여 2차원 지도 오버레이를 고차원으로 일반화하기 위해.
• GIS 및 3D/4D 모델링에서 시간과 공간을 동시에 고려한 다차원 공간 분석을 위한 확장 가능한 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 기하학적 임베딩에 의존하지 않는 순수하게 조합론적인 n차원 다면체의 부호가 붙은 단체 분해를 사용한다.
• 개별 단체의 감도 수의 곱을 통해 세포의 교차를 결정하기 위해 부호가 붙은 감도 수를 적용한다.
• n차원 공간에서 n-단체의 기하학적 교차를 계산하기 위해 간소화된 활성집합 방법을 활용한다.
• 분해 과정에서 사용된 사상의 역을 취하여 최종 오버레이 복합체를 재구성한다.
• 다면체 복합체를 관계형 데이터베이스 스키마로 표현하기 위해 인cidense 그래프 데이터 모델을 사용한다.
• 경계 연산자를 적용하여 단체 교차의 부호가 붙은 기여도를 계산함으로써 위상적 일관성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비볼록 다면체 복합체는 기하학적 계산 없이도 조합론적으로 분해될 수 있는가?
• RQ2 완전한 기하학적 삼등분 분할 없이도 n차원 복잡한 오버레이를 효율적으로 계산할 수 있는가?
• RQ3 부호가 붙은 단체 분해는 어떤 역할을 하여 차원에 독립적인 공간 연산을 가능하게 하는가?
• RQ4 감도 수의 곱은 n차원 복합체에서 비어 있지 않은 세포 교차를 신뢰성 있게 식별할 수 있는가?
• RQ5 사전에 교차를 식별함으로써 중복된 단체-단체 교차 계산을 피할 수 있는가?

주요 결과

• 관계형 데이터베이스 스키마 기반의 인cidense 그래프를 사용하여 n차원 다면체 복합체의 차원에 독립적인 오버레이가 가능해졌다.
• 부호가 붙은 단체 분해를 통해 단체에 방향 계수를 할당함으로써 비볼록 다면체의 정확한 처리가 가능해졌다.
• n-단체의 기하학적 교차는 간소화된 활성집합 방법을 통해 계산되어 전면적인 수치 최적화에 의존도를 낮췄다.
• 구성 단체의 감도 수 곱은 두 세포의 교차에 속하는 점을 정확히 식별하여 강력한 교차 탐지가 가능하게 했다.
• 분해 사상의 역을 취함으로써 최종 오버레이 복합체의 재구성이 이루어졌고, 위상적 구조가 유지되었다.
• 기하학적 삼등분 분할이 아닌 조합론적 분해를 사용함으로써 삼등분 분할의 초초기적 증가(예: n-입방체의 경우 n!개의 단체)를 피할 수 있었다.