[논문 리뷰] Simple Approximations of Semialgebraic Sets and their Applications to Control

Fabrizio Dabbene, Didier Henrion외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 09. 14.

Advanced Optimization Algorithms Research참고 문헌 42인용 수 33

한 줄 요약

이 논문은 제어 시스템 내에서 복잡한 준대수집합을 단순하고 계산적으로 다룰 수 있는 방법으로 다항수퍼레벨세트(PSS)를 제안한다. 양의 다항식의 $L^1$-노름을 준대수집합 위에서 최소화하면서 양의 제약 조건을 만족시키는 방식으로, 원래 집합으로의 체적 수렴, 거의 everywhere 수렴, 거의 균일 수렴을 보장하는 외부 근사값을 생성한다. 이는 효율적인 샘플링과 집합 재구성 가능성을 제공한다.

ABSTRACT

Many uncertainty sets encountered in control systems analysis and design can be expressed in terms of semialgebraic sets, that is as the intersection of sets described by means of polynomial inequalities. Important examples are for instance the solution set of linear matrix inequalities or the Schur/Hurwitz stability domains. These sets often have very complicated shapes (non-convex, and even non-connected), which renders very difficult their manipulation. It is therefore of considerable importance to find simple-enough approximations of these sets, able to capture their main characteristics while maintaining a low level of complexity. For these reasons, in the past years several convex approximations, based for instance on hyperrect-angles, polytopes, or ellipsoids have been proposed. In this work, we move a step further, and propose possibly non-convex approximations , based on a small volume polynomial superlevel set of a single positive polynomial of given degree. We show how these sets can be easily approximated by minimizing the L1 norm of the polynomial over the semialgebraic set, subject to positivity constraints. Intuitively, this corresponds to the trace minimization heuristic commonly encounter in minimum volume ellipsoid problems. From a computational viewpoint, we design a hierarchy of linear matrix inequality problems to generate these approximations, and we provide theoretically rigorous convergence results, in the sense that the hierarchy of outer approximations converges in volume (or, equivalently, almost everywhere and almost uniformly) to the original set. Two main applications of the proposed approach are considered. The first one aims at reconstruction/approximation of sets from a finite number of samples. In the second one, we show how the concept of polynomial superlevel set can be used to generate samples uniformly distributed on a given semialgebraic set. The efficiency of the proposed approach is demonstrated by different numerical examples.

연구 동기 및 목표

• 제어 시스템에서 흔히 나타나는 비볼록, 복잡한 준대수집합의 형태로 인해 분석과 설계가 어려운 문제를 다루기 위해.
• 이러한 집합의 외부 근사값을 단순하고 정확하며 계산적으로 다룰 수 있는 방법을 개발하기 위해.
• 유한한 샘플로부터의 집합 재구성과 준대수집합 위에서의 균일 샘플링을 다항식 밀도 근사값을 통해 가능하게 하기 위해.
• 비볼록, 고차수 다항식 수퍼레벨세트를 허용함으로써 고전적인 타원체 근사값을 일반화하기 위해.
• 체적, $L^1$-노름, 거의 everywhere 수렴 측면에서 근사화계의 이론적 수렴 보장을 제공하기 위해.

제안 방법

• 준대수집합 $\mathcal{K}$ 위에서 양의 다항식 $p(x)$ 의 $L^1$-노름을 최소화하는 문제를 설정하며, 양의 제약 조건을 포함한다.
• 수퍼레벨세트(PSS)를 $\mathcal{U}(p) = \{x \in \mathcal{B} : p(x) \geq 1\}$ 로 정의하여 $\mathcal{K}$ 의 외부 근사값으로 사용한다.
• 증가하는 차수에 대해 다항식 $p$ 를 계산하기 위해 선형행렬부등식(LMI) 문제의 계층을 구성한다.
• 최소 체적 타원체 방법과 유사한 추적 최소화 히우리스틱을 다항수퍼레벨세트에 적응하여 활용한다.
• 알고리즘 1을 통한 거부 샘플링과 알고리즘 2를 통한 역누적분포함수(CDF) 샘플링을 가능하게 하기 위해 다항식 $p$ 로부터 국소확률밀도와 조건부확률밀도를 유도한다.
• 국소 및 누적 밀도에 대한 모든 적분이 해석적으로 다룰 수 있도록 보장하여 수치적 적분을 피한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다항수퍼레벨세트는 복잡한 비볼록, 비연결 준대수집합을 낮은 복잡도로 일반화된 타원체 근사값으로 제공할 수 있는가?
• RQ2 양의 다항식의 $L^1$-노름 최소화가 원래 준대수집합으로의 체적 수렴과 거의 everywhere 수렴을 보장하는 근사값을 생성할 수 있는가?
• RQ3 다항수퍼레벨세트는 유한한 수의 샘플로부터 집합을 얼마나 정확하게 재구성할 수 있는가?
• RQ4 제안된 다항식 밀도 근사값을 사용하여 수치적 적분 없이도 복잡한 준대수집합 위에서 균일 샘플을 생성할 수 있는가?
• RQ5 다항식 차수를 증가시킬수록 PSS 근사화계의 이론적 수렴 거동은 어떻게 되는가?

주요 결과

• 다항수퍼레벨세트의 계층은 원래 준대수집합 $\mathcal{K}$ 로의 체적 수렴, $L^1$-노름 수렴, 거의 everywhere 수렴, 거의 균일 수렴을 보인다.
• 차수 $d=20$ 에서 최적의 PSS $p_{d,d}^*$ 는 비볼록 집합 $\mathcal{K}$ 에 대해 날것의 외부 근사값을 제공하며, 수치적 예제에서 이를 입증한다.
• 이 방법은 거부 샘플링(알고리즘 1)과 역CDF 샘플링(알고리즘 2)을 통해 준대수집합 위에서 균일 샘플링을 가능하게 하며, 수치적 적분을 피한다.
• 다항식 $p$ 로부터 유도된 국소 및 조건부 밀도는 해석적으로 계산 가능하여 수치적 적분 없이 정확한 샘플링이 가능하다.
• 이 방법은 고전적인 타원체 근사값을 일반화한다: 2차 PSS는 잘 알려진 최소 체적 타원체 결과를 재현한다.
• 이 방법은 외부 근사값(체적 최소화를 위한)과 내부 근사값(최대 $L^1$-체적을 갖는 PSS 포함)을 모두 지원하여 집합의 탄력적인 특성 기술이 가능하다.