[논문 리뷰] Simple digital quantum algorithm for symmetric first order linear hyperbolic systems

François Fillion‐Gourdeau, Emmanuel Lorin|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 25.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 16인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 저항체 방법과 교차 방향 연산자 분할을 조합한 디지털 양자 알고리즘을 제안한다. 이는 대칭 1차 선형 쌍곡계를 해결하기 위한 것으로, 간단한 유니터리 변환으로 간소화되어 시간 진화에서 고전적 방법에 비해 지수적 속도 향상을 달성한다. 다만, 진폭 인코딩으로 인해 측정에는 후처리 처리가 필요하다.

ABSTRACT

This paper is devoted to the derivation of a digital quantum algorithm for the Cauchy problem for symmetric first order linear hyperbolic systems, thanks to the reservoir technique. The reservoir technique is a method designed to avoid artificial diffusion generated by first order finite volume methods approximating hyperbolic systems of conservation laws. For some class of hyperbolic systems, namely those with constant matrices in several dimensions, we show that the combination of i) the reservoir method and ii) the alternate direction iteration operator splitting approximation, allows for the derivation of algorithms only based on simple unitary transformations, thus perfectly suitable for an implementation on a quantum computer. The same approach can also be adapted to scalar one-dimensional systems with non-constant velocity by combining with a non-uniform mesh. The asymptotic computational complexity for the time evolution is determined and it is demonstrated that the quantum algorithm is more efficient than the classical version. However, in the quantum case, the solution is encoded in probability amplitudes of the quantum register. As a consequence, as with other similar quantum algorithms, a post-processing mechanism has to be used to obtain general properties of the solution because a direct reading cannot be performed as efficiently as the time evolution.

연구 동기 및 목표

• 대칭 1차 선형 쌍곡계를 위한 양자 알고리즘을 개발하여 양자 속도 향상을 활용한다.
• 저항체 기법을 사용해 수치적 방법에서 인위적 확산을 제거함으로써 안정성과 정확도를 확보한다.
• 연산자 분할을 통해 기법을 유니터리 연산으로 간소화하여 효율적인 양자 구현을 가능하게 한다.
• 시간 진화 복잡도에서 고전적 방법에 비해 계산적 우위를 입증한다.
• 진폭 인코딩의 한계에도 불구하고 양자 우위가 유지되는 조건을 규명한다.

제안 방법

• 저항체 방법을 쌍곡계에 대한 유한체적 방법에 적용하여 인위적 확산을 제거한다.
• 교차 방향 반복 연산자 분할을 사용해 다차원 문제를 순차적인 1차원 갱신으로 분해한다.
• 유도된 기법을 스트리밍 연산의 시퀀스로 재구성하며, 이를 양자 레지스터 상의 유니터리 변환으로 구현한다.
• 진폭 인코딩은 이산 기저를 사용해 해의 파동함수를 양자 상태의 진폭에 매핑한다.
• 시간 진화는 진동자 연산자의 트로터 유사 분해를 통해 유니터리 게이트로 근사한다.
• 1차원에서 비정상 속도가 존재할 경우, 비균일 메쉬를 저항체 방법과 조합하여 정확도와 유니터리성을 유지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 저항체 방법과 연산자 분할을 조합하여 대칭 쌍곡계에 대한 유니터리 양자 알고리즘을 도출할 수 있는가?
• RQ2 고전적 유한체적 방법에 비해 양자 시간 진화의 계산 복잡도는 어떻게 되는가?
• RQ3 이 알고리즘은 비정상 속도를 갖는 1차원 스칼라 시스템을 어떻게 다루는가?
• RQ4 비대칭 또는 공간에 따라 변하는 행렬으로의 확장에 있어 이 접근법의 한계는 무엇인가?
• RQ5 진폭 인코딩의 한계에도 불구하고 양자 알고리즘이 지수적 속도 향상을 달성할 수 있는가?

주요 결과

• 알고리즘은 대칭 쌍곡계의 해를 유니터리 연산의 시퀀스로 간소화하여 양자 구현에 적합하다.
• 다차원에서 정상 대칭 행렬에 대해, 고전적 유한체적 방법 대비 시간 진화 복잡도에서 지수적 속도 향상을 달성한다.
• 양자 알고리즘의 渐近 계산 복잡도는 고전적 버전에 비해 유리하게 스케일링되며, 측정은 여전히 O(N) 연산으로 비용이 많이 든다.
• 비균일 메쉬를 사용해 1차원 스칼라 시스템에 대한 일반화가 가능하며, 이로 인해 유니터리성과 정확도를 유지한다.
• 비정상 또는 비대칭 행렬에 대해서는 비유니터리 연산이 필요하여 양자 하드웨어에서 더 어려운 구현이 요구된다.
• 이 접근법은 선형 PDE에 대한 광범위한 적용 가능성을 위해 이동 연산자와 공간 이동의 효율적 구현의 중요성을 부각시킨다.