[논문 리뷰] Simple prolongs of the non-positive parts of graded Lie algebras with Cartan matrix in characteristic 2

Sofiane Bouarroudj, Pavel Grozman외 3명|arXiv (Cornell University)|2013. 07. 05.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 34인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 특성 2에서 카르탕 행렬을 가진 계급화된 리 대수의 비양수 부분의 단순 연장에 대해 연구하며, 일반화된 카르탕 연장을 통해 새로운 예외적 단순 리 대수를 구성한다. 몇 가지 새로운 계열, 특히 예외적 리 대수 $\mathfrak{ir}(9;\underline{N})$와 그 수퍼화체를 규명하고, 복소 예외적 벡터류 리 수퍼대수의 특성 2 버전에 해당하는 구조를 통해 숨겨진 수퍼대칭성을 드러낸다.

ABSTRACT

Over an algebraically closed fields, an alternative to the method due to Kostrikin and Shafarevich was recently suggested. It produces all known simple finite dimensional Lie algebras in characteristic p>2. For p=2, we investigate one of the steps of this method, interpret several other simple Lie algebras, previously known only as sums of their components, as Lie algebras of vector fields. One new series of exceptional simple Lie algebras is discovered, together with its "hidden supersymmetries". In characteristic 2, certain simple Lie algebras are "desuperizations" of simple Lie superalgebras. Several simple Lie algebras we describe as results of generalized Cartan prolongation of the non-positive parts, relative a simplest (by declaring degree of just one pair of root vectors corresponding to opposite simple roots nonzero) grading by integers, of Lie algebras with Cartan matrix are "desuperizations" of characteristic 2 versions of complex simple exceptional vectorial Lie superalgebras. We list the Lie superalgebras (some of them new) obtained from the Lie algebras considered by declaring certain generators odd. One of the simple Lie algebras obtained is the prolong relative to a non-simplest grading, so the classification to be obtained might be more involved than we previously thought.

연구 동기 및 목표

• 특성 2에서의 단순 유한차원 리 대수를 분류하기 위해 $p > 2$를 초월하는 코스트리킨–샤파레비치 방법을 확장한다.
• 구성 요소 형태로만 기술된 이전에 알려진 리 대수들을 벡터장 대수로 해석한다.
• 카르탕 행렬을 가진 리 대수의 비양수 부분에 대한 일반화된 카르탕 연장을 통해 새로운 단순 리 대수를 규명한다.
• 수퍼해제를 통해 리 수퍼대수의 대응체를 구성함으로써, 이러한 리 대수들에서 '숨겨진 수퍼대칭성'을 드러낸다.
• 비가장단순한 계급화에 따른 연장의 구조를 탐구하여, 이전의 가정을 초월한 복잡성이 존재할 수 있음을 시사한다.

제안 방법

• 정수 계급화 하에서 크기가 $\leq 4$인 분해 불가능한 카르탕 행렬 $A$를 가진 리 대수 $\mathfrak{g}(A)$의 비양수 부분에 일반화된 카르탕 연장을 적용한다.
• 수퍼해제 함자 $\mathbf{F}$를 사용하여 리 수퍼대수를 리 대수로 변환하고, 특성 2에서의 기존 및 새로운 단순 리 대수를 복원한다.
• 새로운 예외적 리 대수들을 $\mathfrak{wk}(4;a)$ 및 $\mathfrak{wk}'(3;a)/\mathfrak{c}$의 연장으로 식별하고, 이들을 특성 2에서의 복소 예외적 벡터류 리 수퍼대수의 해당 구조로 해석한다.
• 성분들을 $\mathfrak{g}_0$-모듈로 분해하고, 분해 불가능한 구조를 식별함으로써 연장의 구조를 분석한다.
• 기호 계산의 한계로 인해 컴퓨터 보조 방법을 활용하여 SuperLie 패키지를 통해 연장을 계산한다.
• 다항식 및 그라스만 성분을 조화 및 쌍대 부분공간을 통해 연결함으로써, 리 대수의 명시적 실현을 벡터장 대수로 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특성 2에서 카르탕 행렬을 가진 리 대수의 비양수 부분의 연장으로서 어떤 새로운 단순 리 대수가 유도되는가?
• RQ2 이전에 구성 요소 형태로만 기술된 리 대수들, 예를 들어 브라운의 계열은 어떻게 벡터장 대수로 해석될 수 있는가?
• RQ3 구성된 리 대수들의 숨겨진 수퍼대칭성은 무엇이며, 이는 리 수퍼대수의 구조에서 어떻게 유도되는가?
• RQ4 연장 및 수퍼해제를 통해 코스트리킨–샤파레비치 방법을 초월하여 특성 2에서의 단순 리 대수 분류를 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ5 비가장단순한 계급화는 결과로 얻어진 연장의 구조와 단순성에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 새로운 예외적 단순 리 대수 $\mathfrak{ir}(9;\underline{N})$가 발견되었으며, 그 수퍼화체로 $\mathfrak{ir}(3;\underline{N}|6)$와 $\mathfrak{ir}(5;\underline{N}|4)$가 존재한다. $\underline{N} = (1,\dots,1)$일 경우, 이들은 각각 $\mathfrak{o}_{\Pi}'(8)/\mathfrak{c}$, $\mathfrak{o}_{\Pi}'(2|6)/\mathfrak{c}$, $\mathfrak{o}_{\Pi}'(4|4)/\mathfrak{c}$로 감소한다.
• $\mathbf{F}(\mathfrak{mb}(3;\underline{N}|8))$는 $\mathfrak{wk}(4;a)$의 독립적인 연장이며, 매개변수 $a$에 영향을 받지 않는다.
• 반괄호 또는 부티느 수퍼대수의 주요 변형은 특정 카르탕 행렬과 계급화에서 $\mathfrak{wk}'(3;a)/\mathfrak{c}$의 연장으로 실현된다.
• 브라운 대수 $D_4(3;\underline{N})$는 $\underline{N}$에 대한 특정 조건 하에서 $\mathbf{F}(\mathfrak{vle}(3;\underline{N}|8))$와 동형임을 보였다. 일반적인 경우는 더 포괄적이다.
• $\mathfrak{wk}^\prime(3;a)/\mathfrak{c}$의 연장은 비가장단순 계급화에 대한 반괄호 수퍼대수의 새로운 실현을 제공한다.
• 특정 생성자를 홀수로 간주함으로써 얻어진 리 수퍼대수를 식별함으로써 숨겨진 수퍼대칭성이 명시적으로 드러났으며, 이는 수퍼해제 구조가 확인됨을 뒷받침한다.