[논문 리뷰] Simple rules of functional integration in the Schwarzian theory: SYK correlators

V. V. Belokurov, Evgeniy T. Shavgulidze|arXiv (Cornell University)|2018. 11. 28.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 52인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 샤르비에 양자역학에서 기능적 적분을 위한 일반적인 규칙을 수립하여, 샤르비에-예-키타에브(SYK) 모형에서 상관 함수를 명시적으로 계산할 수 있도록 한다. 샤르비에 측도의 준불변성과 함께, $\mathrm{Diff}^{1}_{+}(S^1)/SL(2,\mathbb{R})$ 및 $\mathrm{Diff}^{1}_{+}(\mathbb{R})/P$의 몫공간에 대한 적분을 통해 복잡한 기능적 적분을 다루기 쉬운 다중 적분으로 환원하며, 이로써 두 점 및 네 점 상관 함수, 특히 시간 순서가 어긋난(OTO) 네 점 상관 함수에 대한 정확한 표현을 도출한다.

ABSTRACT

We derive the general rules of functional integration in the theories of the Schwarzian type, and evaluate explicitly the functional integrals assigning correlation functions in the SYK model.

연구 동기 및 목표

• 샤르비에 유형 이론에서 기능적 적분을 체계적으로 다룰 수 있는 계산 체계를 개발하는 것 — 이는 SYK 모형과 재킷-타일레보임 중력 이론의 기초가 된다.
• 비콤팩트 부분군을 가진 미분형식군 위에서의 기능적 적분 평가 문제를 해결하기 위해 적절한 몰입공간 분해를 도입하는 것.
• 기능적 적분을 일반적인 다중 적분으로 환원하는 보편적이고 단순한 규칙을 도출하여 상관 함수의 정확한 계산을 가능하게 하는 것.
• 유도된 적분 규칙을 활용해 SYK 모형의 두 점 및 네 점 상관 함수에 대한 명시적 해석적 표현을 제공하는 것.

제안 방법

• SL(2,$\mathbb{R}$) 변환에 대한 샤르비에 측도 $\mu_\sigma(d\varphi) = \exp\left\{\frac{1}{\sigma^2}\int_{S^1} \mathcal{S}_\varphi(t) dt\right\} d\varphi$ 의 준불변성을 활용하여, $\mathrm{Diff}^{1}_{+}(S^1)/SL(2,\mathbb{R})$ 위의 적분을 정의한다.
• 비슷한 원리를 $\mathrm{Diff}^{1}_{+}(\mathbb{R})/P$에 적용하며, 여기서 $P$는 아핀 변환 $f \mapsto af + b$ 로 이루어진 $SL(2,\mathbb{R})$ 의 비콤팩트 부분군으로, 불변 인수에 대해 수렴성을 보장한다.
• 미분형식 위의 기능적 적분을 $u = \varphi'(0)$, $v = \varphi'(1)$ 등의 변수로 이루어진 다중 적분으로 환원하며, 라플라스 유형 변환을 통해 보조 변수 $\theta_i$ 를 도입한다.
• 샤르비에 작용을 $\mathcal{S}_f(t)$ 로 표현하고, 초함수와 sinh/sin 적분을 사용하여 경로 적분을 고유모드의 합으로 변환한다.
• 이중 적분을 통해 $u,v$ 에 대한 적분과 그 다음에 $\theta$ 에 대한 적분을 수행함으로써 두 점 함수 $\mathcal{G}_2^n(0,\tau)$ 에 대한 정확한 표현을 도출하며, 이는 베타 함수와 초함수를 포함한 닫힌 형태의 표현으로 나타난다.
• 시간 영역을 분할하고 세 개의 독립적인 $\theta$-적분(각각 별개의 지수 및 삼각함수 인수 포함)을 도입함으로써, OTO 네 점 함수 $\mathcal{G}_4^{OTO}(0,\tau_2;\tau_1,\tau_3)$ 를 계산하는 데에 이 방법을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비콤팩트 성질을 가진 대칭군 $SL(2,\mathbb{R})$ 을 가진 샤르비에 이론에서 기능적 적분을 체계적으로 평가할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ2 기능적 적분을 $\mathrm{Diff}^{1}_{+}(S^1)$ 에서 유한 차원 다중 적분으로 환원하는 보편적 규칙은 무엇인가?
• RQ3 $\mathrm{Diff}^{1}_{+}(S^1)/SL(2,\mathbb{R})$ 와 $\mathrm{Diff}^{1}_{+}(\mathbb{R})/P$ 의 적분 도메인 선택이 유도되는 상관 함수에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 이 프레임워크를 통해 SYK 모형에서 두 점 함수와 OTO 네 점 함수에 대한 정확한 해석적 표현을 도출할 수 있는가?
• RQ5 큰 $\tau$ 에서 두 점 함수의 점 游행성은 어떻게 유도되며, 그 적분 구조는 어떤 방식으로 이를 나타내는가?

주요 결과

• 두 점 상관 함수 $\mathcal{G}_2^n(0,\tau)$ 는 $2\pi^{-3/2}\left(\frac{\sigma^2}{2}\right)^{(n-1)/2} B\left(\frac{n+1}{2},\frac{n+1}{2}\right) \tau^{-1/2} \int_0^{\infty} d\theta \, \sin\left(\frac{4\pi\theta}{\sigma^2\tau}\right) \sinh\theta \, \exp\left\{-\frac{2}{\sigma^2\tau}(\theta^2 - \pi^2)\right\} \times F\left(\frac{n+1}{2},\frac{n+1}{2};\frac{n+1}{2}+1;\frac{1 - \cosh\theta}{2}\right)$ 로 유도된다.
• 특히 $n=2$ 일 경우, $\left(\frac{\sigma^2}{2\pi^3}\right)^{1/2} \tau^{-1/2} \int_0^{\infty} d\theta \, \exp\left\{-\frac{2}{\sigma^2\tau}(\theta^2 - \pi^2)\right\} \sin\left(\frac{4\pi\theta}{\sigma^2\tau}\right) \left[\frac{1}{\sinh\theta} - \frac{\theta \cosh\theta}{\sinh^2\theta}\right]$ 로 단순화되며, 이는 두 점 함수에 대한 정확한 닫힌 형태를 제공한다.
• 두 점 함수 $\mathcal{G}_2^n(0,\tau)$ 의 $\tau \to \infty$ 에서의 점근적 행동은 $4\pi^{-1/2}\left(\frac{\sigma^2}{2}\right)^{(n-3)/2} B\left(\frac{n+1}{2},\frac{n+1}{2}\right) \tau^{-3/2} \int_0^{\infty} \theta \sinh\theta \, F\left(\frac{n+1}{2},\frac{n+1}{2};\frac{n+1}{2}+1;\frac{1 - \cosh\theta}{2}\right) d\theta$ 로 표현되며, 거듭제곱 감쇠를 보인다.
• OTO 네 점 함수 $\mathcal{G}_4^{OTO}(0,\tau_2;\tau_1,\tau_3)$ 는 세 개의 $\theta$-적분, 세 개의 $x,y$-적분, 그리고 $z_1,z_2$ 에 대한 이중 적분을 포함하는 7차원 적분으로 표현되며, $\tau_1, \tau_2 - \tau_1, \tau_3 - \tau_2$ 와 전체 시간 순서에 명시적인 의존성을 가진다.
• OTO 함수는 비정상적인 시간 순서 의존성을 보이며, 두 점 함수의 곱으로 분해되지 않으며, 이는 양자 혼돈을 탐지하는 데서의 역할을 확인한다.
• 시간 순서가 정렬된 네 점 함수 $\mathcal{G}_4^{TO}$ 는 $\mathcal{G}_2(0,\tau_1) \mathcal{G}_2(\tau_2,\tau_3)$ 로 분해되며, 이는 시간 순서 상관 함수가 단순히 두 점 함수의 곱임을 나타내며, OTO 경우와 대비된다.