[논문 리뷰] Simple Toeplitz subshifts: combinatorial properties and uniformity of cocycles

Daniel Sell|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 27.

Quasicrystal Structures and Properties참고 문헌 80인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 복잡도, 반복성, 스펙트럼 성질을 조합적 구조를 가진 기호 동역계인 단순 토플리츠 하위시프트를 분석함으로써, 자코비 연산자의 스펙트럼 성질을 연구한다. 이는 주로 선형 순서 조건을 도입하여, 국소적으로 상수인 SL(2,R)-코시클이 이 조건을 만족할 경우 균일성을 보임을 증명하고, 이러한 하위시프트에서 자코비 연산자의 스펙트럼이 르베그 측도가 0인 칸토어 집합임을 증명한다. 이는 이전의 슈뢰딩거 연산자 결과를 더 넓은 자코비 연산자 범주로 일반화한다.

ABSTRACT

We investigate combinatorial properties of aperiodic simple Toeplitz subshifts, as well as spectral properties of Jacobi operators defined by them. More precisely, we derive explicit formulas for complexity, palindrome complexity and, for sufficiently large word length, repetitivity. In addition we give a complete description of the de Bruijn graphs. We characterise alpha-repetitivity and, based on a work by Liu and Qu from 2011, the Boshernitzan condition. These combinatorial results can also be found in [arXiv:1801.08778]. Regarding the Jacobi operators, we show that they have empty pure point spectrum for almost all elements in the subshift. This generalises a result of Grigorchuk, Lenz and Nagnibeda from 2018. In addition the spectrum is shown to be a Cantor set of Lebesgue measure zero. In fact we prove the stronger statement that every locally constant SL(2,R)-cocycle is uniform. To do so, we use the so-called leading sequence condition for subshifts, which stems from a collaboration with Grigorchuk, Lenz and Nagnibeda, see [arXiv:1906.01898]. This approach allows us to establish uniformity of cocycles for simple Toeplitz subshifts and Sturmian subshifts in a unified way. An appendix briefly reviews the connection between Jacobi operators on simple Toeplitz subshifts and Laplacians on Schreier graphs of self-similar groups.

연구 동기 및 목표

• 단순 토플리츠 하위시프트의 조합적 구조, 즉 복잡도, 팰린드롬 복잡도, 반복성을 규명한다.
• 이러한 하위시프트에서 슈뢰딩거 연산자에서의 스펙트럼 결과를 자코비 연산자로 확장하여 순수 점 스펙트럼과 칸토어 스펙트럼에 대해 연구한다.
• 지난 시퀀스 조건을 도입하고, 하위시프트 내에서 국소적으로 상수인 SL(2,R)-코시클의 균일성에 대한 통합 기준으로 활용한다.
• 단순 토플리츠 하위시프트가 선형 순서 조건을 만족함을 증명하고, 이를 통해 스펙트럼적 결론을 이끌어낸다.
• 이러한 하위시프트에서 자코비 연산자의 스펙트럼이 르베그 측도가 0인 칸토어 집합임을 증명한다. 이는 이전의 트레이스 맵 기반 결과를 일반화한다.

제안 방법

• 매우 규칙적인 주기적 구조를 가진 토플리츠 단어의 부분류를 통해 단순 토플리츠 하위시프트를 구성한다.
• 근사 부분 단어의 구조적 분해를 이용해 복잡도, 팰린드롬 복잡도, 점근적 반복성에 대한 명시적 공식을 유도한다.
• 기저 주기 구조에 기반한 재귀적 구성 방식을 통해 이러한 하위시프트의 드 브루이jn 그래프를 특성화한다.
• 국소적으로 상수인 SL(2,R)-코시클의 균일성에 대한 새로운 기준으로서 선형 순서 조건을 도입한다.
• 고든 유형의 추론을 적용하여 고유값을 배제하고, 하위시프트의 거의 모든 ω에서 순수 점 스펙트럼이 공집합임을 증명한다.
• 선형 순서 조건을 활용해 수정된 전이 행렬 코시클의 균일성을 증명하고, 이는 스펙트럼이 르베그 측도가 0인 칸토어 집합임을 암시한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단순 토플리츠 하위시프트의 정확한 조합적 불변량—복잡도, 팰린드롬 복잡도, 반복성—은 무엇인가?
• RQ2 단순 토플리츠 하위시프트에 대해 보셔르니츠안 조건과 α-반복성은 어떻게 특성화될 수 있는가?
• RQ3 어떤 조건에서 하위시프트에서의 전이 행렬 코시클이 균일한가?
• RQ4 슈뢰딩거 경우를 초월하여 단순 토플리츠 하위시프트에서 자코비 연산자의 칸토어 스펙트럼 성질을 어떻게 확립할 수 있는가?
• RQ5 단순 토플리츠 하위시프트는 새로 도입된 선형 순서 조건을 만족하는가? 그리고 그 스펙트럼적 결과는 무엇인가?

주요 결과

• 단순 토플리츠 하위시프트의 복잡도와 팰린드롬 복잡도에 대한 명시적 공식이 도출되었으며, 후자는 완전히 특성화되었다.
• 적절한 길이의 단어에 대해 반복성은 명시적으로 계산되었고, 로그적으로 증가함이 입증되었다.
• 단순 토플리츠 하위시프트의 드 브루이jn 그래프는 기저 주기 패턴에 기반한 재귀적 구조를 통해 완전히 묘사되었다.
• 류와 쿠의 (2011) 결과에 기반해, 모든 단순 토플리츠 하위시프트에 대해 α-반복성과 보셔르니츠안 조건을 특성화하였다.
• 단순 토플리츠 하위시프트에서 자코비 연산자의 순수 점 스펙트럼이 거의 모든 ω에서 공집합임을 증명하였으며, 그리고 그 결과는 그리고치크, 레츠, 나그니베다의 결과를 일반화한다.
• 모든 단순 토플리츠 하위시프트에서 자코비 연산자의 스펙트럼은 르베그 측도가 0인 칸토어 집합임을 선형 순서 조건과 전이 행렬 코시클의 균일성에 의해 입증하였다.