[논문 리뷰] Simulating Markovian Open Quantum Systems Using Higher-Order Series Expansion

Xiantao Li, Chunhao Wang|arXiv (Cornell University)|2022. 12. 05.

Tensor decomposition and applications인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 두하멜의 원리와 스케일링된 가우스 적분을 기반으로 한 고차수 급수 전개를 사용하여 마르코프성 열린 양자 시스템을 시뮬레이션하는 개념적으로 단순한 양자 알고리즘을 제안한다. 이 방법은 완전히 양의 연산자로 근사함으로써 리드블라드 진화를 효율적으로 근사함으로써 복잡한 압축 인코딩과 시간-클록킹을 피하고, 시간에 의존하는 리드블라드 연산자로의 일반화가 자연스럽게 가능하며, 복잡도 스케일링을 O(t polylog(t/ǫ))로 최적화한다.

ABSTRACT

We present an efficient quantum algorithm for simulating the dynamics of Markovian open quantum systems. The performance of our algorithm is similar to the previous state-of-the-art quantum algorithm, i.e., it scales linearly in evolution time and poly-logarithmically in inverse precision. However, our algorithm is conceptually cleaner, and it only uses simple quantum primitives without compressed encoding. Our approach is based on a novel mathematical treatment of the evolution map, which involves a higher-order series expansion based on Duhamel's principle and approximating multiple integrals using scaled Gaussian quadrature. Our method easily generalizes to simulating quantum dynamics with time-dependent Lindbladians. Furthermore, our method of approximating multiple integrals using scaled Gaussian quadrature could potentially be used to produce a more efficient approximation of time-ordered integrals, and therefore can simplify existing quantum algorithms for simulating time-dependent Hamiltonians based on a truncated Dyson series.

연구 동기 및 목표

• 마르코프성 열린 양자 시스템을 시뮬레이션하기 위한 더 개념적으로 명확하고 효율적인 양자 알고리즘을 개발하기 위해.
• 리드블라드 초연산자의 고차수 테일러 급수 전개에서 완전히 양의 성질을 유지하는 데 도전하는 문제를 해결하기 위해.
• 압축 인코딩과 시간-클록킹을 제거함으로써 양자 시뮬레이션 알고리즘에서의 필요성을 없애기 위해.
• 시간에 의존하는 리드블라드 연산자로의 접근 방식을 일반화하고 시간 순서적 적분의 근사치를 향상시키기 위해.
• 최신 기술 수준에 맞는 복잡도 스케일링 O(t polylog(t/ǫ))를 달성하면서도 복잡한 기본 요소에 의존하지 않기 위해.

제안 방법

• 두하멜의 원리를 기반으로 한 진동도 맵의 고차수 급수 전개를 사용하여 리드블라드 연산자를 다룰 수 있는 성분들로 분해한다.
• 급수에 포함된 다중 적분을 근사하기 위해 스케일링된 가우스 적분을 적용하여 적은 수의 항으로 고차수 정확도를 달성한다.
• H 및 Lj 연산자에 대해 블록 인코딩 입력 모델을 사용하여 선형 조합 단위원리(LCU)를 통해 효율적인 양자 구현을 가능하게 한다.
• 무심한 진폭 증폭과 제어 회전을 사용하여 시간 및 상태에 따라 달라지는 초연산자를 준비한다.
• 직접적으로 가우스 적분 기반 근사에서 유도된 크라우스 연산자를 구성함으로써 시간-클록킹과 압축 인코딩을 피한다.
• 급수의 차수 K′에서 잘라내고, 행렬 노름 부등식과 소산성 초연산자의 성질을 이용해 오차를 근사한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두하멜의 원리를 기반으로 한 고차수 급수 전개를 사용하여 최적의 복잡도와 완전히 양의 성질을 확보한 리드블라드 진화를 시뮬레이션할 수 있는가?
• RQ2 기존의 적분 규칙을 대체하여 스케일링된 가우스 적분이 크라우스 표현의 항 수를 극적으로 줄일 수 있는가?
• RQ3 압축 인코딩과 시간-클록킹을 피하면서도 다항로그 스케일링 정밀도를 유지할 수 있는가?
• RQ4 이 방법은 시간에 의존하는 리드블라드 연산자로 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ5 이 접근 방식은 시간에 의존하는 해밀토니안 시뮬레이션에서 시간 순서적 적분을 위한 기존 알고리즘을 단순화시킬 수 있는가?

주요 결과

• 알고리즘이 O(t polylog(t/ǫ))의 최적 복잡도 스케일링을 달성하며, 이는 이전 최고 성능 결과와 일치한다.
• t∥L∥be = Θ(1)일 때 K′ = O(log(1/ǫ)/log log(1/ǫ))로 설정하면 오차가 ǫ 이내로 제한된다.
• 스케일링된 가우스 적분의 사용으로 인해 직사각형 또는 중점 규칙 대비 크라우스 분해의 항 수가 지수적으로 감소한다.
• 압축 인코딩과 시간-클록킹을 피함으로써 구현이 단순화되고 게이트 오버헤드가 감소한다.
• 급수와 적분 프레임워크를 확장함으로써 시간에 의존하는 리드블라드 연산자로의 일반화가 자연스럽게 가능하다.
• 오차 분석 결과, ǫ′ ≤ ǫ/(t∥L∥be)일 때 잘라내기 오차가 지배적이며 총 오차를 정밀하게 제어할 수 있다.