[논문 리뷰] Simulation of multivariate distributions with fixed marginals and correlations

Mark Huber, Nevena Marić|arXiv (Cornell University)|2013. 11. 08.

Bayesian Methods and Mixture Models참고 문헌 11인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 프레셰-후프딩 경계를 통해 Fréchet-Hoeffding 경계로 매핑되는 볼록성 매개변수 λ_ij ∈ [0,1]를 활용하여 고정된 주변 분포와 지정된 상관관계를 갖는 다변량 난수를 생성하는 시뮬레이션 방법을 제안한다. 주요 기여는 상관관계 시뮬레이션의 가장 열악한 경우가 대칭 베르누이(1/2) 주변 분포일 때 발생함을 증명하여, 이 표준 케이스를 통해 모든 주변 분포 유형에 대한 보편적 시뮬레이션을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Consider the problem of drawing random variates $(X_1,\ldots,X_n)$ from a distribution where the marginal of each $X_i$ is specified, as well as the correlation between every pair $X_i$ and $X_j$. For given marginals, the Fr\'echet-Hoeffding bounds put a lower and upper bound on the correlation between $X_i$ and $X_j$. Hence any achievable correlation can be uniquely represented by a convexity parameter $\lambda_{ij} \in [0,1]$ where 1 gives the maximum correlation and 0 the minimum correlation. We show that for a given convexity parameter matrix, the worst case is when the marginal distribution are all Bernoulli random variables with parameter 1/2 (fair 0-1 coins). It is worst case in the sense that given a convexity parameter matrix that is obtainable when the marginals are all fair 0-1 coins, it is possible to simulate from any marginals with the same convexity parameter matrix. In addition, we characterize completely the set of convexity parameter matrices for symmetric Bernoulli marginals in two, three and four dimensions.

연구 동기 및 목표

• 사전에 지정된 주변 분포와 상관관계를 갖는 다변량 분포를 시뮬레이션하는 데 도전하는 문제를 해결하기 위해.
• 고정된 주변 분포 하에서 도달 가능한 상관관계 구조의 집합을 특성화하기 위해.
• 모든 가능한 주변 분포 유형 중에서 상관관계 경계 측면에서 가장 도전적인 경우를 특정하기 위해.
• 주어진 볼록성 매개변수 행렬에 대해 어떤 주변 분포이든 시뮬레이션이 가능하다는 것을 보여주기 위해, 이는 대칭 베르누이(1/2) 주변 분포 하에서 가능할 경우에 한해 성립한다.

제안 방법

• 각 쌍별 상관관계를 볼록성 매개변수 λ_ij ∈ [0,1]로 표현하며, 여기서 λ_ij = 1은 프레셰-후프딩 경계에 의해 정의된 최대 가능한 상관관계에 해당하고, λ_ij = 0은 최소 상관관계에 해당한다.
• 프레셰-후프딩 경계가 대칭 베르누이(1/2) 주변 분포에서 가장 날카롭게 작용하므로, 이 경우가 상관관계 시뮬레이션의 가장 열악한 케이스임을 이용한다.
• 먼저 주어진 λ_ij 행렬을 갖는 대칭 베르누이(1/2) 주변 분포 하에서 변량을 생성한 후, 확률적 적분 변환을 통해 목표 주변 분포로 변환하는 시뮬레이션 프레임워크를 구축한다.
• 기하학적 및 대수적 제약 조건을 사용하여 두, 세, 네 차원에서 대칭 베르누이 주변 분포에 대해 타당한 볼록성 매개변수 행렬 λ_ij의 집합을 특성화한다.
• 만약 어떤 볼록성 매개변수 행렬이 대칭 베르누이(1/2) 주변 분포에 대해 타당한 경우, 동일한 λ_ij 행렬을 갖는 모든 다른 주변 분포에 대해서도 타당함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 상관관계와 주변 분포를 갖는 다변량 분포를 시뮬레이션할 때 가장 도전적인 주변 분포는 무엇인가?
• RQ2 낮은 차원에서 대칭 베르누이(1/2) 주변 분포에 대해 타당한 볼록성 매개변수 행렬 λ_ij는 무엇인가?
• RQ3 모든 주변 분포에 대한 시뮬레이션 방법을 대칭 베르누이(1/2) 주변 분포를 사용한 표준 케이스로 환원할 수 있는가?
• RQ4 프레셰-후프딩 경계는 일반 주변 분포에 대해 도달 가능한 상관관계 구조를 어떻게 제약하는가?

주요 결과

• 대칭 베르누이(1/2) 분포는 프레셰-후프딩 경계가 가장 날카롭기 때문에, 고정된 주변 분포와 상관관계를 갖는 다변량 분포 시뮬레이션에서 가장 열악한 케이스이다.
• 대칭 베르누이(1/2) 주변 분포에 대해 타당한 어떤 볼록성 매개변수 행렬 λ_ij도, 동일한 λ_ij 행렬을 갖는 모든 다른 주변 분포에 대해서도 타당하다.
• 두, 세, 네 차원에서 대칭 베르누이(1/2) 주변 분포에 대해 타당한 볼록성 매개변수 행렬의 집합이 완전히 특성화되어 있다.
• 고정된 주변 분포와 상관관계를 갖는 다변량 분포의 시뮬레이션은 대칭 베르누이(1/2) 주변 분포 하에서 먼저 시뮬레이션한 후 목표 주변 분포로 변환하는 것으로 보편적으로 달성할 수 있다.