[논문 리뷰] Simulation of quasi-stationary distributions on countable spaces

Pablo Groisman, Matthieu Jonckheere|arXiv (Cornell University)|2012. 06. 28.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 37인용 수 25

한 줄 요약

이 논문은 수량 상태 공간에서의 준정적분포(QSDs)를 프레밍-비엇 동역학과 $\mu$-재시작 과정을 이용한 시뮬레이션 방법을 제시한다. 고정점이 $\Phi(\mu)$에 의해 정의되는 맵에서, 측도 $\mu$를 $\mu$-재시작 과정의 불변 분포로 매핑하는 방식으로, QSDs와 정확히 일치함을 입증하여, 재시작 과정의 동역학을 통해 QSDs의 반복적 근사가 가능함을 보여준다.

ABSTRACT

Quasi-stationary distributions (QSD) have been widely studied since the pioneering work of Kolmogorov (1938), Yaglom (1947) and Sevastyanov (1951). They appear as a natural object when considering Markov processes that are certainly absorbed since they are invariant for the evolution of the distribution of the process conditioned on not being absorbed. They hence appropriately describe the state of the process at large times for non absorbed paths. Unlike invariant distributions for Markov processes, QSD are solutions of a non-linear equation and there can be 0, 1 or an infinity of them. Also, they cannot be obtained as Cesàro limits of Markovian dynamics. These facts make the computation of QSDs a nontrivial matter. We review different approximation methods for QSD that are useful for simulation purposes, mainly focused on Fleming-Viot dynamics. We also give some alternative proofs and extensions of known results.

연구 동기 및 목표

• 수량 상태 공간에서 직접 시뮬레이션하기 어려운 준정적분포(QSDs)에 대한 실용적인 시뮬레이션 방법을 개발하기 위해.
• 원래의 흡수 마코프 과정의 QSDs와 $\mu$-재시작 과정의 불변 분포 사이의 관계를 확립하기 위해.
• 적절한 조건 하에서 $\Phi(\mu)$에 기반한 반복적 방법이 QSDs로 수렴함을 보여주는 이론적 기반을 제공하기 위해.
• 수렴 속도, 고유벡터의 고유값, 이동하는 랜덤 워크에서의 FV 동역학을 포함한 QSD 시뮬레이션 분야의 열린 문제들을 다루기 위해.

제안 방법

• 흡수 상태 0에서 흡수될 경우 $\mu$로 재시작하는 $\mu$-재시작 과정을 정의한다.
• $\Phi(\mu)$를 도입하여, 각 초기 측도 $\mu$에 대해 $\mu$-재시작 과정의 불변 분포를 할당한다.
• 측도 $\nu$가 QSD임과 동시에 $\Phi(\mu)$의 고정점임이 동치임을 증명하여, QSD 존재성과 재시작 과정의 동역학을 연결한다.
• 조건부 진화 $T_t\mu$의 반군 성질을 이용해 장기적 행동과 QSD로의 수렴을 분석한다.
• 다형태 분열 과정에 대한 케스텐-스티그룸 정리를 적용하여, 유한 상태 공간에서 정규화된 인구 벡터의 거의 확실 수렴을 통해 QSDs를 시뮬레이션한다.
• 프레밍-비엇 동역학을 QSDs의 근사 프레임워크로 활용하여, $N$개 입자의 경험 측도가 $N \to \infty$일 때 QSD로 수렴함을 이용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 측도 $\mu$를 $\mu$-재시작 과정의 불변 측도로 매핑하는 맵 $\Phi(\mu)$가 고정점을 가지며, 이 고정점이 준정적분포에 해당하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 반복적으로 $\Phi^n(\mu)$를 적용할 경우, 이가 준정적분포로 수렴할 수 있는지, 그리고 그러한 수렴에 필요한 충분조건은 무엇인가?
• RQ3 입자 수 $N$이 많은 프레밍-비엇 동역학이 진짜 준정적분포를 얼마나 잘 근사하는가? $N \to \infty$일 때 수렴 속도는 어떻게 되는가?
• RQ4 이 시뮬레이션 프레임워크를 확장하여, 주된 고유벡터(QSD) 외에도 무한소 생성자 행렬의 다른 고유벡터를 추정할 수 있는가?
• RQ5 확산에 의해 구동되는 프레밍-비엇 과정에서, 유한 시간 간격 내에 점프 수가 축적되지 않는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 측도 $\nu$가 준정적분포이면, 그리고 그때만이 $\mu$를 $\mu$-재시작 과정의 불변 분포로 매핑하는 맵 $\Phi(\mu)$의 고정점이 된다.
• QSD의 존재성은, 모든 $t > 0$에 대해 $x \to \infty$일 때 $P(\tau^x > t) \to 1$라는 조건 하에서, $\theta > 0$과 $x \in \Lambda$가 존재하여 $\mathbb{E}[e^{\theta \tau^x}] < \infty$임과 동치이다.
• 케스텐-스티그룸 정리에 의해, 초임계 다형태 분열 과정에서는 정규화된 인구 벡터가 거의 확실히 평균 후손 행렬의 좌측 고유벡터로 수렴하며, 이는 유일한 QSD에 해당한다.
• 유한 상태 공간에서는 초임계 다형태 분열 과정의 정규화된 인구 벡터가 거의 확실히 QSD로 수렴하므로, 실용적인 시뮬레이션 방법이 된다.
• 입자 수 $N$이 많은 프레밍-비엇 과정의 경험 분포는 $N \to \infty$일 때 QSD로 수렴하며, 태깅된 입자의 분포는 $Z^\nu$로 수렴한다.
• 재시작 과정과 맵 $\Phi(\mu)$를 기반으로 한 방법은, 세르비치 평균 또는 반복적 방법과 조합할 경우 QSDs의 시뮬레이션에 있어 강력한 프레임워크를 제공한다.