[논문 리뷰] Simulation of Stochastic Volatility using Path Integration: Smiles and Frowns

Belal E. Baaquie, L. C. Kwek외 1명|arXiv (Cornell University)|2000. 08. 23.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 2인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 메르톤-가르만 모델을 사용하여 확률적 변동성 하에서 옵션 가격 결정을 시뮬레이션하기 위해 경로 적분 기법을 적용한다. 시장 데이터가 특정 매개변수 집합을 선호함을 보여주며, 이는 이분법 방법을 효율적으로 적용할 수 있게 하여 '미소'와 '비웃음' 패tern을 보이는 임의의 변동성 곡선을 도출한다.

ABSTRACT

We apply path integration techniques to obtain option pricing with stochastic volatility using a generalized Black-Scholes equation known as the Merton and Garman equation. We numerically simulate the option prices using the technique of path integration. Using market data, we determine the parameters of the model. It is found that the market chooses a special class of models for which a more efficient algorithm, called the bisection method, is applicable. Using our simulated data, we generate some implied volatility curves. We also analyze and study in detail some of the characteristics of the volatility curves within the model.

연구 동기 및 목표

• 확률적 변동성 하에서 옵션 가격 결정을 위한 경로 적분 기반 수치적 방법을 개발하기 위해.
• 실제 시장 데이터에 모델을 校정하고 선호되는 매개변수 영역을 식별하기 위해.
• 시뮬레이션된 데이터로부터 유도된 임의의 변동성 곡선(미소와 비웃음)을 생성하고 분석하기 위해.
• 경로 적분 프레임워크 내에서 이분법과 같은 효율적인 수치 알고리즘의 실현 가능성을 탐색하기 위해.
• 양자 기반 기법을 활용하여 옵션 가격 결정에 대한 새로운 계산적 시각을 제공하기 위해.

제안 방법

• 연구는 일반화된 메르톤-가르만 확률적 변동성 방정식을 해결하기 위해 파이먼 경로 적분 체계를 사용한다.
• 시간 경로를 이산화하여 전이 진폭을 자산 가격 및 변동성 경로에 대한 가우시안 적분의 곱으로 표현한다.
• 변수 치환을 통해 경로 적분을 변형하여 가격과 변동성 역학을 분리하고, 중간 가격 변수에 대한 정확한 적분을 가능하게 한다.
• 최종적으로 전이 진폭의 표현은 변동성 경로에 대한 함수적 적분으로 표현되며, 이는 변동성 거듭제곱의 시간 적분을 포함하는 효과적 작용을 수반한다.
• 몬테카를로 기법을 사용하여 경로 적분을 수치적으로 시뮬레이션하며, 통합된 변동성과 그 모멘트의 공동 분포를 통한 옵션 가격 계산에 중점을 둔다.
• 시장 보정을 통해 도출된 특수한 매개변수 클래스에 대해서는, 전체 경로 적분보다 더 효율적인 대안으로 이분법 방법을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경로 적분 기법은 확률적 변동성 모델 하에서 옵션 가격 결정을 효과적으로 시뮬레이션할 수 있는가?
• RQ2 실제 시장 데이터가 선호하는 확률적 변동성 모델의 매개변수 영역는 무엇인가?
• RQ3 유도된 임의의 변동성 곡선은 어떻게 행동하며, 실제로 시장에서 관찰되는 '미소' 또는 '비웃음' 패턴을 재현하는가?
• RQ4 특정 매개변수 세트에 대해 전체 경로 적분의 효율적인 대안은 존재하는가?
• RQ5 경로 적분 체계는 확률적 변동성에 의해 유도되는 비선형성에 대해 새로운 통찰을 제공할 수 있는가?

주요 결과

• 시장 데이터 보정을 통해 이분법 방법을 적용할 수 있는 특수한 매개변수 집합이 도출되었으며, 이는 계산 효율성을 크게 향상시킨다.
• 경로 적분 수식은 실제로 시장 관측 결과와 일치하는 '미소'와 '비웃음' 패턴을 보이는 임의의 변동성 곡선을 성공적으로 생성한다.
• 모델의 효과적 작용은 변동성의 거듭제곱에 대한 시간 적분을 포함하며, 주요 양은 ω = ∫₀ᵀ V dt, θ = ∫₀ᵀ V¹/²⁻ᵃ dt, η = ∫₀ᵀ V³/²⁻ᵃ dt, ζ = ∫₀ᵀ Vᵃ⁻¹/² dt 로 정의된다.
• 전이 진폭은 통합된 변동성과 그 모멘트에 의존하는 S₁을 포함하는 수정된 작용 S₀ + S₁에 대한 변동성 경로에 대한 함수적 적분으로 표현된다.
• 이산 시간 경로 적분 수식(식 90)은 전체 경로 적분 없이도 옵션 가격을 계산하기 위한 안정적이고 수치적으로 다룰 수 있는 기초를 제공한다.
• 이 연구는 경로 적분이 비선형성을 처리할 수 있는 전역적이고 비파erturbative 접근법임을 확인한다.