[논문 리뷰] Simulations of the adiabatic quantum optimization for the Set Partition Problem

Vadim Smelyanskiy, U. von Toussaint외 1명|ArXiv.org|2001. 12. 22.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 14인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 시간에 따라 변화하는 슈뢰딩거 방정식과 정적 슈뢰딩거 방정식의 수치 시뮬레이션을 통해 NP-완전 문제인 집합 분할 문제(SPP)에 대한 단열 양자 최적화를 조사한다. 에너지 값의 수를 줄이기 위해 로그 스케일 비용 함수를 도입하며, 알고리즘의 복잡도가 문제 크기와 함께 지수적으로 증가함을 발견하여, 다른 NP-완전 문제에 대한 이전 결과들과 정면으로 배치된다.

ABSTRACT

We analyze the complexity of the quantum optimization algorithm based on adiabatic evolution for the set partition problem. We introduce a cost function defined on a logarithmic scale of the partition residues so that the total number of values of the cost function is of the order of the problem size. We simulate the behavior of the algorithm by numerical solution of the time-dependent Schroedinger equation as well as the stationary equation for the adiabatic eigenvalues. The numerical results for the time-dependent quantum evolution indicate that the complexity of the algorithm scales exponentially with the problem size.This result appears to contradict the recent numerical results for complexity of quantum adiabatic algorithm applied to a different NP-complete problem (Farhi et al, Science 292, p.472 (2001)).

연구 동기 및 목표

• NP-완전 문제인 집합 분할 문제(SPP)에 대한 단열 양자 최적화의 복잡도를 분석하기 위해.
• 일부 NP-완전 문제에 대해 가설화된 바와 같이, 단열 양자 알고리즘이 SPP에서 다항식 시간 성능을 달성할 수 있는지 조사하기 위해.
• 에너지 장의 구조, 특히 피하기 교차점의 분포가 알고리즘 복잡도를 결정하는지 테스트하기 위해.
• 분할 잔여치에 대한 군집화가 단열 진동의 역학과 복잡도에 미치는 영향을 탐색하기 위해.
• 시간에 따라 변화하는 슈뢰딩거 방정식과 정적 슈뢰딩거 방정식 접근법이 SPP의 단열 진동을 분석할 때 어떻게 비교되는지 조사하기 위해.

제안 방법

• 문제 해밀토니안 $ H_P $ 를 사용하여 SPP 를 양자 최적화 문제로 공식화하며, 이는 분할 잔여치 에너지 함수를 코딩한다.
• 문제 크기의 순서로 서로 다른 에너지 값의 수를 제한하기 위해 로그 스케일 비용 함수를 도입하여, 효과적인 힐베르트 공간 복잡도를 감소시킨다.
• 시간에 따라 변화하는 슈뢰딩거 방정식의 수치 시뮬레이션을 수행하여 단열 진동 하에서 양자 상태의 진동을 추적한다.
• 정적 슈뢰딩거 방정식을 해결하여 $ n \leq 10 $ 인 작은 경우의 단열 고유값과 피하기 교차점의 분석을 수행한다.
• 비가역 전이 확률을 추정하기 위해 편미분 이론을 사용하며, 최소 에너지 갭 $ \Delta g_{\text{min}} $ 와 행렬 요소 $ V_{0k} $ 를 활용한다.
• 다양한 비용 함수 값에서 최종 상태의 국소화와 구조를 평가하기 위해 확률 분포 $ |\langle z|\psi(T)\rangle|^2 $ 를 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 집합 분할 문제에 대한 단열 양자 최적화는 문제 크기와 함께 실행 시간이 다항식 또는 지수적으로 증가하는가?
• RQ2 로그 스케일 비용 함수의 선택이 에너지 장의 구조와 알고리즘의 복잡도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 피하기 교차점과 최소 에너지 갭이 단열 알고리즘의 실행 시간 복잡도를 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 최소 갭이 작음에도 불구하고, 파동함수의 구조가 없음으로써 알고리즘이 효율적인 성능을 달성하지 못하는 이유는 무엇인가?
• RQ5 시간에 따라 변화하는 슈뢰딩거 방정식과 정적 슈뢰딩거 방정식 접근법의 결과는 SPP의 단열 진동 역학을 포괄하는 데 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 시간에 따라 변화하는 슈뢰딩거 방정식의 수치 시뮬레이션을 통해 집합 분할 문제(SPP)에 대한 단열 양자 최적화 알고리즘의 복잡도가 문제 크기 $ n $ 과 함께 지수적으로 증가함을 확인하였다.
• 11에서 17까지의 $ n $ 에 대해 중앙값 실행 시간 복잡도는 지수 함수에 잘 맞으며, 최소 제곱법 피팅 결과에서 명확한 지수적 증가가 관찰되었다.
• 확률 분포 $ |\langle z|\psi(T)\rangle|^2 $ 는 서로 다른 비용 함수 값에 해당하는 명확한 '단계'를 형성하며, 각 단계 내부에는 내부 구조가 없었다.
• 동일한 비용 함수 값을 가진 상태들 사이에서 파동함수의 세밀한 구조가 없음이 지수적 복잡도의 주요 원인으로 규명되었다.
• 10인 $ n=10 $ 에서 정적 슈뢰딩거 방정식 분석을 통해 다수의 자극 상태를 포함한 복잡한 피하기 교차점의 구조가 드러났으며, 표준 이중 수준 모델과는 다소 다름을 확인하였다.
• 기저 상태와 관련된 자극 상태 사이의 최소 갭은 다른 자극 상태들 간의 간격보다 현저히 크며, 피하기 교차 영역에서 비정상적인 다체 효과가 있음을 시사한다.