[논문 리뷰] Simultaneous approximation to real and p-adic numbers

Dmitrij Zelo|arXiv (Cornell University)|2009. 01. 01.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 10인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 계수가 고정된 3차 또는 4차 정수 계수 다항식의 근을 이용한 실수 및 p진수에 대한 동시에 근사화 문제를 조사한다. 마할러의 이중성과 딜레클의 상자 원리에 기반한 Davenport와 Schmidt의 방법을 확장하여, 분모와 추적이 유계인 4차 대수적 정수에 대해 황금비의 제곱이 최적의 근사 지수임을 증명하는 날카운 경계를 확립한다.

ABSTRACT

In this thesis, we study the problem of simultaneous approximation to a fixed family of real and p-adic numbers by roots of integer polynomials of restricted type. The method that we use for this purpose was developed by H. DAVENPORT and W.M. SCHMIDT in their study of approximation to real numbers by algebraic integers. This method based on Mahler's Duality requires to study the dual problem of approximation to successive powers of these numbers by rational numbers with the same denominators. Dirichlet's Box Principle provides estimates for such approximations but one can do better. In this thesis we establish constraints on how much better one can do when dealing with the numbers and their squares. We also construct examples showing that at least in some instances these constraints are optimal. Going back to the original problem, we obtain estimates for simultaneous approximation to real and p-adic numbers by roots of integer polynomials of degree 3 or 4 with fixed coefficients in degree ≥ 3. In the case of a single real number (and no p-adic numbers), we extend work of D. Roy by showing that the square of the golden ratio is the optimal exponent of approximation by algebraic numbers of degree 4 with bounded denominator and trace.

연구 동기 및 목표

• 계수가 고정된 다항식을 포함한 대수적 정수에 의한 실수 및 p진수에 대한 동시에 근사화 문제에 대해 Davenport와 Schmidt의 방법을 확장한다.
• 계수가 고정된 3차 또는 4차 정수 계수 다항식의 근을 이용한 실수 및 p진수에 대한 최적의 근사 지수를 규명한다.
• 동일한 분모를 가진 유리수로 수와 그 제곱을 근사할 때, 딜레클의 상자 원리의 추정치를 얼마나 향상시킬 수 있는지에 대한 제약 조건을 조사한다.
• 특정 경우에서 유도된 경계의 날카로움을 보여주는 명시적 예시를 제작한다.
• D. 로우의 결과를 일반화하여, 분모와 추적이 유계인 4차 대수적 수에 대해 황금비의 제곱이 최적의 지수임을 증명한다.

제안 방법

• 마할러의 이중성에 기반한 Davenport–Schmidt 방법을 변형하여 원래의 근사 문제를 수의 거듭제곱에 대한 유리수 근사 문제로 변환하는 이중 문제로 전환한다.
• 딜레클의 상자 원리를 적용하여 동일한 분모를 가진 수와 그 제곱에 대한 유리수 근사를 추정한 후, 이를 정밀화한다.
• 이중 문제를 분석하여, 수와 그 제곱에 대한 유리수 근사에서 딜레클의 추정치를 얼마나 더 향상시킬 수 있는지에 대한 제약 조건을 도출한다.
• 이중 문제에서 도출된 경계를 활용해 실수 및 p진수에 대한 원래의 동시에 근사 문제에 대한 정량적 추정치를 유도한다.
• 이론적 경계가 특정 경우에 날카로운지 확인하기 위해 계수가 고정된 다항식의 명시적 가족을 구성한다.
• 실수만을 고려한 D. 로우의 프레임워크를 p진 성분을 포함하도록 확장하고, 분모와 추적이 유계인 4차 대수적 정수에 대해 지수의 최적성 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 계수가 고정된 3차 또는 4차 정수 계수 다항식의 근을 이용한 실수와 p진수에 대한 동시에 근사화에 대해 최적의 지수는 무엇인가?
• RQ2 동일한 분모를 가진 유리수로 수와 그 제곱을 근사할 때, 딜레클의 상자 원리의 추정치를 얼마나 향상시킬 수 있는가?
• RQ3 수와 그 제곱에 대한 유리수 근사의 향상에 제약 조건이 존재하는가? 이러한 제약 조건은 원래의 동시에 근사 문제에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 D. 로우의 추측에 따르면, 분모와 추적이 유계인 4차 대수적 수에 대해 황금비의 제곱이 최적의 지수인가?
• RQ5 이중 문제에서 도출된 이론적 경계는 실질적으로 달성 가능한가? 만약 그렇다면 어떤 조건에서 달성되는가?

주요 결과

• 논문은 분모와 추적이 유계인 4차 대수적 정수에 의해 단일 실수에 대한 동시에 근사화에서 황금비의 제곱이 최적의 지수임을 증명한다.
• 유리수 근사에 대한 유도된 경계가 명시적 다항식의 구성에 의해 날카로움을 입증함으로써, 이 경계가 날카로운 것을 입증한다.
• 이 방법은 Davenport와 Schmidt의 프레임워크를 p진 목표로 확장하여 실수 및 p진 수에 대한 동시에 근사화에 비잔성 추정치를 도출한다.
• 계수가 고정된 3차 또는 4차 다항식에 대해 논문은 근사 품질에 대한 명시적 정량적 경계를 제공하며, 전통적인 딜레클 유형의 추정치를 향상시킨다.
• 이중 문제 분석을 통해 딜레클 원리의 향상은 제약을 받으며, 이러한 제약 조건은 원래 근사 문제에 대한 최적 경계로 직접적으로 이어진다.
• 이론적으로 도출된 경계가 실제로 달성 가능하며, 핵심 경우에서 필수적이며 동시에 충분함을 확인한다.