[논문 리뷰] Simultaneous Communication Protocols with Quantum and Classical Messages

Dmitry Gavinsky, Oded Regev외 1명|ArXiv.org|2008. 07. 17.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 14인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 한 당사자가 양자 메시지를 사용하고 다른 당사자가 고전적 메시지를 사용하는 동시에 메시지를 주고받는(SMP) 프로토콜을 조사하며, 양자 메시지가 q 큐비트와 c 고전적 비트를 가질 때, 랜덤화된 경우 O(qc) 비트 또는 결정론적 경우 O(qc log q) 비트의 고전적 메시지로 효율적으로 시뮬레이션될 수 있음을 보여준다. 주요 결과는 기능 문제에 대해 양자-고전적 SMP 프로토콜이 고전-고전적 프로토콜보다 초다항적 이점을 제공하지 못하며, Wim van Dam이 제기한 하이브리드 모델에서 양자 프린팅의 한계에 대한 질문을 해결한다.

ABSTRACT

We study the simultaneous message passing (SMP) model of communication complexity, for the case where one party is quantum and the other is classical. We show that in an SMP protocol that computes some function with the first party sending q qubits and the second sending c classical bits, the quantum message can be replaced by a randomized message of O(qc) classical bits, as well as by a deterministic message of O(q c log q) classical bits. Our proofs rely heavily on earlier results due to Scott Aaronson. In particular, our results imply that quantum-classical protocols need to send Omega(sqrt{n/log n}) bits/qubits to compute Equality on n-bit strings, and hence are not significantly better than classical-classical protocols (and are much worse than quantum-quantum protocols such as quantum fingerprinting). This essentially answers a recent question of Wim van Dam. Our results also imply, more generally, that there are no superpolynomial separations between quantum-classical and classical-classical SMP protocols for functional problems. This contrasts with the situation for relational problems, where exponential gaps between quantum-classical and classical-classical SMP protocols are known. We show that this surprising situation cannot arise in purely classical models: there, an exponential separation for a relational problem can be converted into an exponential separation for a functional problem.

연구 동기 및 목표

• 한 당사자가 양자 메시지를 사용하고 다른 당사자가 고전적 메시지를 사용할 때의 동시에 메시지 전달(SMP) 프로토콜의 능력을 조사하기 위해.
• 기능 문제에 대해 양자-고전적 SMP 프로토콜이 고전-고전적 프로토콜보다 유의미한 이점을 얻을 수 있는지 확인하기 위해.
• Wim van Dam이 최근 제기한 하이브리드 양자-고전적 환경에서의 양자 프린팅 기법의 한계에 대한 열린 질문을 해결하기 위해.
• 특히 등등 함수에 대해 SMP 프로토콜에서의 양자 메시지의 고전적 시뮬레이션에 대한 날카운 경계를 설정하기 위해.
• 특히 요아 원칙을 통해 기능 문제와 관계 문제 간의 관계를 명확히 하기 위해.

제안 방법

• 단방향 통신 복잡도에 관한 Aaronson의 결과를 활용하여 SMP 프로토콜에서의 양자 메시지의 고전적 시뮬레이션을 제한한다.
• 개인 비용 및 공개 비용 통신 모델을 사용하여 랜덤화 및 결정론적 고전적 시뮬레이션에 대한 경계를 유도한다.
• 요아 원리를 적용하여 분포 복잡도 결과를 최악의 경우 복잡도 경계로 변환하고, 관계 문제에서 기능 문제로의 축소를 가능하게 한다.
• 양자 상태 식별 기법과 오류 수정 부호 기법을 조합하여 O(qc log q) 고전적 비트를 사용하는 결정론적 메시지로 양자 메시지를 시뮬레이션한다.
• 등등 함수를 분석하여 양자-고전적 SMP 프로토콜에 대해 Ω(√(n/log n))의 하한을 유도하며, 고전적 프로토콜보다 유의미한 향상이 없음을 보여준다.
• 최소 최대 정리와 분포 복잡도를 사용하여, 고전적 모델에서 관계 문제에 대해 지수적 분리가 존재하면 출력 크기가 너무 크지 않은 한 기능 문제에 대해서도 유사한 분리가 존재함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기능 문제에 대해 양자-고전적 SMP 프로토콜이 고전-고전적 프로토콜보다 초다항적 이점을 얻을 수 있는가?
• RQ2 다른 당사자가 c 고전적 비트를 전송할 때, q 큐비트의 양자 메시지를 시뮬레이션하기 위해 필요한 고전적 통신 비용은 얼마인가?
• RQ3 한 메시지가 양자가 아니라 고전적일 경우, 양자 프린팅 기법이 여전히 효과적인가?
• RQ4 고전적 모델에서 관계 문제에 대해 지수적 분리가 존재하면 이를 기능 문제에 대해 지수적 분리로 변환할 수 있는가?
• RQ5 특히 등등과 같은 전체 함수에 대해 하이브리드 양자-고전적 SMP 모델에서 양자 스피드업에 기본적인 제한이 존재하는가?

주요 결과

• q 큐비트와 c 고전적 비트를 가진 개인 비용 양자-고전적 SMP 프로토콜은 앨리스가 O(qc) 고전적 비트, 밥이 c 비트를 사용하는 개인 비용 고전-고전적 프로토콜로 시뮬레이션될 수 있다.
• 개인 비용 양자-고전적 SMP 프로토콜은 앨리스가 O(qc log q) 고전적 비트를 사용하고 결정론적 메시지를 전송하는 개인 비용 고전-고전적 프로토콜로 시뮬레이션될 수 있다.
• n비트 문자열에 대한 등등 함수에 대해, 양자-고전적 SMP 프로토콜은 Ω(√(n/log n)) 비트/큐비트가 필요하며, 이는 고전-고전적 프로토콜의 Θ(√n) 경계와 비교해 유의미하게 향상되지 않는다.
• 기능 문제에 대해 양자-고전적 프로토콜과 고전-고전적 프로토콜 사이에 초다항적 분리는 존재하지 않으며, 이는 관계 문제에서는 이러한 격차가 알려져 있음과 대조된다.
• 어떤 관계 문제에 대해 두 고전적 모델 간에 지수적 분리가 존재하면, 출력 크기가 너무 크지 않은 한 기능 문제에 대해서도 유사한 분리가 존재한다.
• 결과적으로, 양자-고전적 SMP 프로토콜은 양자-양자 프로토콜(예: 양자 프린팅)에서 관찰되는 지수적 스피드업을 달성할 수 없으며, Wim van Dam이 제기한 질문을 해결한다.