[논문 리뷰] Simultaneous determination of coefficients and internal source of a diffusion equation from a single measurement

Yavar Kian|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 17.

Photoacoustic and Ultrasonic Imaging인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 고전적 및 시간 분수형 대류-확산 방정식에서 확산 계수, 소스 항, 그리고 초기 조건을 동시에 식별하기 위한 새로운 역방법을 제안한다. 단일 경계 측정치만을 사용하여도 유일한 복원이 가능하며, 측정이 최종 시간에 가까운 임의로 작은 시간 간격 내에서 이루어져도 성립한다. 이는 열음향 및 광음향 단층촬영에 관련된 분수형 모델로의 확장을 가능하게 한다.

ABSTRACT

This article is devoted to the inverse problem of determining simultaneously several class of coefficients and an internal source (a source term or an initial condition) appearing in a diffusion equation from a single boundary measurement. Our problem can be formulated as the simultaneous determination of information about a diffusion process (velocity field, density of the medium) and of the source of diffusion. We consider this problems in the context of a classical diffusion process described by a convection-diffusion equation as well as an anomalous diffusion phenomena described by a time fractional diffusion equation. For time fractional diffusion equations, we obtain our results from a single boundary measurement made on an interval in time corresponding to any arbitrary small neighborhood of the final time of measurement. Some of the problems under consideration in this paper can be seen as the fractional formulation of the so called thermoacoustic and photoacoustic tomography problem considered with a single boundary input.

연구 동기 및 목표

• 단일 경계 측정치로부터 확산 계수, 소스 항, 그리고 초기 조건과 같은 다수의 미지 매개변수를 복원하는 역문제를 다루는 것.
• 측정이 최종 시간 근처의 매우 작은 이웃 영역에 국한된 경우에도 기존의 역방법을 시간 분수형 확산 방정식으로 확장하는 것.
• 표준 확산과 비정상 확산 과정에 모두 적용 가능한 통합된 프레임워크를 제공하는 것.
• 단일 경계 입력만을 사용하여 열음향 및 광음향 단층촬영과 유사한 문제들을 모델링하고 해결하는 것.
• 단일 측정치 설정에서 다수의 미지 매개변수를 동시에 복원하는 데 있어 유일성 및 안정성 결과를 확립하는 것.

제안 방법

• 대류-확산 및 시간 분수형 확산 방정식의 맥락에서 역문제를 수립한다.
• 최종 시간에 가까운 임의로 작은 시간 간격 내에서 측정된 단일 경계 측정치를 이용하여 미지 계수와 소스를 추론한다.
• 역문제 이론 및 분수형 미적분학 기법을 적용하여 유일성 및 안정성 결과를 도출한다.
• 적분 표현식과 카르레만 추정을 활용하여 미지 매개변수의 식별 가능성 분석을 수행한다.
• 고전적 및 비정상 확산 영역 모두에서 문제를 고려하며, 분수형 모델은 기억 효과를 반영한다.
• 최소한의 데이터 입력 조건에서 해를 구할 수 있는 방정식 시스템으로 역문제를 환원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 확산 방정식에서 다수의 미지 계수와 소스 항이 단일 경계 측정치로부터 유일하게 결정될 수 있는가?
• RQ2 측정이 최종 시간 근처의 매우 작은 간격에 국한된 경우에도 시간 분수형 확산 방정식에서 동일한 미지 매개변수를 복원할 수 있는가?
• RQ3 제안된 방법은 제한된 데이터 조건에서 열음향 및 광음향 단층촬영의 역문제와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 다수의 미지 매개변수를 동시에 복원하는 데 있어 유일성 및 안정성을 보장하는 수학적 조건는 무엇인가?
• RQ5 이 방법은 소스 항과 확산 계수 외에도 초기 조건을 함께 미지로 포함하는 데로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 고전적 대류-확산 방정식에서 단일 경계 측정치로부터 확산 계수, 소스 항, 그리고 초기 조건의 유일한 복원을 확립한다.
• 시간 분수형 확산 방정식에서는 측정이 최종 시간에 가까운 임의로 작은 시간 간격에 국한되어 있어도 유일한 식별이 가능하다.
• 결과는 단일 경계 입력만을 사용하는 열음향 및 광음향 단층촬영 문제의 분수형 수식에 직접 적용 가능하다.
• 최소한의 데이터 조건에서 식별 가능성을 보장하기 위해 카르레만 추정 및 적분 표현식과 같은 고급 분석 도구를 활용한다.
• 복잡한 확산 거동이 존재하는 상황에서도 동시에 재구성에 대해 안정성과 유일성을 보여주는 프레임워크를 제공한다.
• 이 연구는 다수의 미지 매개변수와 분수형 역학을 포함하는 확산 과정의 역문제 이론적 기반을 확장한다.