[논문 리뷰] Simultaneous Diophantine Approximation in Function Fields

Zhiyong Zheng|arXiv (Cornell University)|2017. 11. 10.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 5인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 양의 특성 함수체에서 기하학적 수론 프레임워크를 구축하여 고전적인 동시 디오판틴스 근사 결과를 일반화한다. 임의의 $ n $개의 원소 $ k_\infty $ 내에서, 모든 $ ||x\theta_i|| $가 동시에 $ (q|H|)^{-1/n} $ 이하로 유계가 되는 공통 분모 다항식 $ x $가 존재함을 증명한다. 이는 리우빌–마하러 정리의 고차원 확장이며, 연분수를 통한 이차 대수적 함수의 정확한 근사 상수를 결정한다.

ABSTRACT

There are abundant results on Diophantine approximation over fields of positive characteristic (see the survey papers [13, 25]), but there is very little information about simultaneous approximation. In this paper, we develop a technique of \geometry of numbers" in positive characteristic, so that we may generalize some of the classical results on simultaneous approximation to the case of function fields. More precisely, we approximate a finite set of Laurent series by rational functions with a common denominator. In particular, the lower bound results we obtain may be regarded as a high dimensional version of the Liouville{ Mahler Theorem on algebraic functions of degree n. As an application, we investigate binary quadratic forms, and determine the exact approximation constant of a quadratic algebraic function. Finally, we give two examples using continued fractions.

연구 동기 및 목표

• 양의 특성 함수체에서 동시 디오판틴스 근사에 대해 기하학적 수론 접근법을 개발한다.
• 리우빌–마하러 정리를 다수의 로랑 급수 동시 근사로 일반화한다.
• 함수체 $ k_\infty $ 내 이차 대수적 함수에 대해 정확한 근사 상수 $ \tau(\alpha) $를 결정한다.
• 이차 대수적 원소의 연분수 전개의 구조를 분석하고, 부분분수와 근사 상수 간의 관계를 규명한다.
• 부분분수의 최대 차수와 최소 다항식의 판별식 사이의 연결 고리를 설정한다.

제안 방법

• 덧셈군 $ k_\infty / K $ 상의 하르 측도를 활용하여 분수 부분의 분포를 분석한다.
• 민코프스키의 선형 형식 정리(보조정리 2.4)를 적용하여 연속적인 최소값을 이용해 동시 근사의 경계를 유도한다.
• 다음과 같은 노름을 도입한다: $ ||\alpha|| = \inf_{A \in K} |\alpha - A| $, 이는 $ \alpha $ 가 $ K $ 내 다항식에 가장 가까운 거리를 나타낸다.
• 연분수 전개 $ P_n/Q_n $ 를 사용하여 $ k_\infty $ 내 근사의 질을 분석한다.
• 근사 상수 $ \tau(\alpha) = \liminf_{n \to \infty} \frac{1}{|a_n|} $ 를 정의한다. 여기서 $ a_n $ 은 부분분수이다.
• 부분분수의 최대 차수 $ D(\alpha) $ 를 최소 다항식의 판별식 $ \delta $ 와 이진 이차형식의 함숫값 $ t(f) $ 와 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적인 리우빌–마하러 정리는 양의 특성 함수체 내 동시 근사로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 공통 분모를 가진 $ k_\infty $ 내 유한 개의 로랑 급수 집합에 대해 최적의 동시 근사 상수는 무엇인가?
• RQ3 이차 대수적 함수의 연분수 전개에서 부분분수의 차수는 그 근사 상수와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 함수체에 대한 마르코프 스펙트럼의 해석적 대응은 존재하는가? 그리고 실수 경우와 동일한 구조를 갖는가?
• RQ5 함수체 $ k_\infty $ 내 이차 대수적 함수가 나쁜 근사 가능성을 갖는 조건은 무엇이며, 그 근사 상수는 어떻게 계산할 수 있는가?

주요 결과

• 임의의 $ n $개의 원소 $ \theta_1, \dots, \theta_n \in k_\infty $ 와 $ |H| \geq 1 $ 인 $ H \in k_\infty $ 에 대해, $ \max_{1 \leq i \leq n} ||x\theta_i|| \leq (q|H|)^{-1/n} $ 이고 $ 1 \leq |x| \leq |H| $ 를 만족하는 다항식 $ x \in K $ 가 존재한다. 이는 동시 근사 경계를 증명한다.
• 이차 대수적 함수 $ \alpha $ 에 대해 근사 상수 $ \tau(\alpha) $ 는 $ \tau(\alpha) = q^{-D(\alpha)} $ 를 만족하며, 여기서 $ D(\alpha) $ 는 부분분수의 최대 차수이다.
• 이차 대수적 원소 $ \alpha $ 에 대해 최대 부분분수 차수는 $ D(\alpha) = \frac{1}{2} \deg \delta + t(f) $ 를 만족한다. 여기서 $ \delta $ 는 판별식이고 $ t(f) $ 는 이진 이차형식의 최대 함숫값이다.
• 만약 $ \alpha $ 가 $ k $ 에 대해 정수적이라면 $ D(\alpha) = \frac{1}{2} \deg \delta $ 를 만족하며, 이는 정수적 경우에 경계가 정확하게 도달됨을 보여준다.
• 근사 상수 $ \tau(\alpha) = q^{-d} $ 는 $ \alpha = \frac{1}{2}(\sqrt{(aT+b)^2 + 4} - (aT+b)) $ 일 때 실현되며, 여기서 $ a \in \mathbb{F}_q^* $, $ b \in \mathbb{F}_q $, $ d = \deg(aT + b) $ 이다.
• 클래식한 의미에서 함수체의 마르코프 스펙트럼의 해석적 대응은 존재하지 않으며, $ \tau(\alpha) = q^{-1} $ 인 $ \alpha $ 가 무한히 많고, 이들은 표준 연분수 예시들과 동치가 아니다.