[논문 리뷰] Simultaneous global exact controllability of an arbitrary number of 1D bilinear Schr\\"odinger equations

Morgan Morancey, Vahagn Nersesyan|arXiv (Cornell University)|2013. 06. 25.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 31인용 수 31

한 줄 요약

이 논문은 이분기자 모멘트에 대한 일반적인 가정 하에 임의의 수의 1차원 이중선형 슈뢰딩거 방정식에 대해 단일 제어 입력을 사용하여 전역 정확한 제어 가능성을 확립한다. 증명은 리아푸노프 기반의 근사 제어 가능성을, 유한한 고유상태 합 주위에서 국소 정확한 제어 가능성을 확보하는 코로의 복귀 방법, 그리고 큰 시간 동안 전역 정확한 제어 가능성을 확보하기 위한 컴팩턴스 추론을 결합한다. 초기 상태와 목표 상태가 $H^4_{(V)}$에 속할 경우에 적용된다.

ABSTRACT

We consider a system of an arbitrary number of \ extsc{1d} linear Schr\\"odinger equations on a bounded interval with bilinear control. We prove global exact controllability in large time of these $N$ equations with a single control. This result is valid for an arbitrary potential with generic assumptions on the dipole moment of the considered particle. Thus, even in the case of a single particle, this result extends the available literature. The proof combines local exact controllability around finite sums of eigenstates, proved with Coron's return method, a global approximate controllability property, proved with Lyapunov strategy, and a compactness argument.

연구 동기 및 목표

• 임의의 수 $N$의 1차원 이중선형 슈뢰딩거 방정식에 대해 단일 제어 입력을 사용하여 동시에 전역 정확한 제어 가능성을 확립하는 것.
• 기존의 단일 입자 정확한 제어 가능성 결과를 임의의 포텐셜이 존재하는 다중 입자 경우로 확장하는 것.
• 일반적인 이분기자 모멘트 $\mu$에 대해 $H^4_{(V)}$ 소볼레프 공간에서의 제어 가능성을 증명하는 것.
• 이전의 부정적인 제어 가능성 결과의 한계를 극복하기 위해 유리한 스펙트럼 가정을 갖는 더 높은 정규성 설정에서 작업하는 것.
• 이 프레임워크에서 유니타리 동치인 초기 상태와 최종 상태는 제어 가능성에 대해 必요하고 충분한 조건임을 보여주는 것.

제안 방법

• 유한한 고유상태 합 주위에서 $H^4_{(V)}$에서 근사 제어 가능성을 달성하기 위해 리아푸노프 전략을 활용한다.
• 참조 궤도 설계와 선형화된 시스템 분석을 통해 $H^3_{(V)}$에서 코로의 복귀 방법을 적용하여 유한한 고유상태 합 주위에서 국소 정확한 제어 가능성을 증명한다.
• 큰 시간 간격 동안 국소 제어 가능성을 전역 정확한 제어 가능성으로 끌어올리기 위해 컴팩턴스 추론을 활용한다.
• 자기적 변형 추론을 통해 자유 상태($V=0$)에서의 결과를 임의의 $V \in H^4((0,1),\mathbb{R})$로 확장한다.
• 스펙트럼 분석과 모멘트 문제를 활용하여 행렬 원소 $\langle \mu \varphi_j, \varphi_k \rangle$의 비퇴화성을 보장하는 이분기자 모멘트 조건의 일반성을 확립한다.
• 실해석성과 조밀성 추론을 사용하여, 제어 가능성이 보장되는 $\mu$의 집합이 $H^4((0,1),\mathbb{R})$에서 잔여 집합임을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단일 제어 입력을 사용하여 임의의 초기 상태에서 $H^4_{(V)}$ 내의 유니타리 동치인 최종 상태로 $N$개의 동일한 1차원 양자 입자를 정확하게 이동시킬 수 있는가?
• RQ2 일반적이고 임의의 포텐셜이 존재하는 상황에서도 임의의 수 $N$의 1차원 이중선형 슈뢰딩거 방정식에 대해 단일 제어로 전역 정확한 제어 가능성이 달성 가능한가?
• RQ3 소볼레프 공간 프레임워크에서 제어 가능성을 보장하기 위해 필요한 포텐셜 $V$와 이분기자 모멘트 $\mu$의 최소 정규성은 무엇인가?
• RQ4 리아푸노프 함수와 복귀 방법을 어떻게 조합하여 무한차원 양자 시스템에서 전역 제어 가능성을 달성할 수 있는가?
• RQ5 제어 가능성을 보장하는 데 필요한 $\mu$의 일반성 조건은 무엇이며, 이 집합은 함수 공간 $H^4((0,1),\mathbb{R})$에서 어떻게 특징지어지는가?

주요 결과

• 임의의 $N \in \mathbb{N}$, 임의의 $V \in H^4((0,1),\mathbb{R})$, 그리고 $H^4((0,1),\mathbb{R})$ 내의 잔여 집합 $\mathcal{Q}_V \subset H^4((0,1),\mathbb{R})$인 이분기자 모멘트 $\mu$에 대해 시스템은 $\boldsymbol{H}^4_{(V)}$에서 전역 정확하게 제어 가능하다.
• 제어 가능성의 핵심 조건은 모든 $j,k \in \mathbb{N}^*$에 대해 $\langle \mu \varphi_j, \varphi_k \rangle \neq 0$임을 보여주며, 이는 $H^4$에서 일반적으로 성립한다.
• 일반적인 $\mu$에 대해 행렬 원소 $\langle \mu \varphi_j, \varphi_k \rangle$는 큰 $k$에 대해 $|\langle \mu \varphi_j, \varphi_k \rangle| \geq C_j / k^3$를 만족하여 비퇴화성을 보장한다.
• 증명은 리아푸노프 함수를 통해 유한한 고유함수 합 주위로의 근사 제어 가능성이 가능함을 입증하며, 이는 공진 스펙트럼이 존재하는 경우에도 성립한다.
• 코로의 복귀 방법을 통해 유한한 고유상태 합 주위에서 국소 정확한 제어 가능성이 달성되며, 이는 충분히 큰 시간 간격이 있어야 회전과 안정화가 가능하기 때문이다.
• 콤팩턴스 추론은 $H^4$에서의 유계성과 $H^3$에서의 수렴성을 활용하여 국소에서 전역 정확한 제어 가능성으로의 전환을 가능하게 한다.