[논문 리뷰] Simultaneous Niven Numbers in Arithmetic Progressions for Power-Related Bases

Scott Duke Kominers|arXiv (Cornell University)|2026. 02. 01.

Analytic Number Theory Research인용 수 0

한 줄 요약

본 논문은 밑 b와 B=b^k에 대해, gcd(m,b)=1을 만족하는 모든 산술적 진행에서 동시에 b-Niven 및 B-Niven인 정수가 무한히 많이 존재한다는 것을 증명한다.

ABSTRACT

Recently, Harrington, Litman, and Wong [Bulletin of the Australian Mathematical Society, 2024; arXiv:2303.06534] proved that every arithmetic progression contains infinitely many base-$b$ Niven numbers, for any fixed $b\ge 2$. We use a sparse repunit construction to treat a structured two-base version of the same problem, showing that every arithmetic progression with common difference relatively prime to $b$ contains infinitely many integers that are simultaneously $b$-Niven and $b^k$-Niven (indeed, we can obtain simultaneous $b^\ell$-Niven-ness for $\ell=1,\ldots, k$).

연구 동기 및 목표

• 밑의 거듭제곱과 관련된 Niven(Harshad) 특성을 연구하고 동시성을 모티브로 삼는다.
• 하나의 밑에 대한 리푸닌 방법을 서로 관련된 두 밑의 설정으로 확장한다.
• gcd(m,b)=1인 진행에서 모든 n에 대해 s_b(n)|n이고 s_B(n)|n임을 보이는 것을 목표로 한다.
• 그러한 n을 구성적으로, 명시적으로 생성하는 방법을 제시하고, 이를 여러 밑의 거듭제곱으로 확장하는 것을 논의한다.

제안 방법

• 밑 b와 B=b^k에서 B-자리 블록이 작아(블록 간에 캐리가 일어나지 않는 경우)일 때 자리수 합의 호환성을 이용한다.
• i-번째로 허용 가능한 s를 이용하여 n_s를 특정 산술 진행(m에 모듈화)으로 강제하는 희소 리푸닛 구조를 활용한다.
• s는 s ≡ r (mod m)이고 gcd(s,b)=1이 되도록 허용 가능한 자리를 정의하여 n_s ≡ r (mod m) 및 s | n_s를 보장한다.
• ω_s = ord_{ms}(B)로 설정하여 B^{jω_s} ≡ 1 (mod ms)를 보장하고 n_s = sum_{j=0}^{s-1} B^{jω_s}를 도출한다.
• s | n_s이고 s_B(n_s) = s_B(n_s) = s가 되도록 “no carries”와 밑- B 표현에서 s개의 1을 사용하여 보장한다.
• 임의의 잔여류 r (mod m)에 대해 허용 가능한 s가 무한히 존재한다는 것을 보여 무한성을 증명한다.
• 진술은 진행에서 동시에 b-Niven 및 B-Niven인 n가 무한히 존재한다는 결론으로 귀결되며, 필요 시 s_0를 더 엄격하게 다듬는 것을 확장한다。）

실험 결과

연구 질문

• RQ1 gcd(m,b)=1인 모든 산술적 진행에 대해 밑 b와 밑 b^k 각각에 대해 동시에 Niven인 정수가 무한히 많이 존재하는가?
• RQ2 두 관련 밑 사이에서 희소 리푸닛 구조를 정렬시키고 공통의 자리수 합의 나눗셈 성질을 보장할 수 있는가?
• RQ3 같은 진행에서 여러 거듭제곱 b^ℓ에 대해 동시 Niven 성질을 강제할 수 있는가?
• RQ4 밑이 서로 거듭제곱 관계일 때 밑- B와 밑- b의 자리수 합을 연결하는 구조적 이점은 무엇인가?

주요 결과

• 임의의 b≥2, k≥1과 B=b^k, 그리고 gcd(m,b)=1인 임의의 잔여류 r (mod m)에 대해, S_{m,r} 진행에서 s_b(n) | n 및 s_B(n) | n을 만족하는 무한히 많은 n이 존재한다.
• s ≡ r (mod m)이고 gcd(s,b)=1인 허용 가능한 s를 선택하여 b- 및 B-Niven인 n_s를 S_{m,r}에서 구성할 수 있다.
• 구성된 n_s는 s_b(n_s)=s_B(n_s)=s이고 s|n_s를 만족하므로 두 밑에서 동시 Niven 성질을 가진다.
• 서로 다른 허용 가능한 s에 대해 서로 다른 n_s를 얻을 수 있어 무한성을 입증한다.
• 원한다면 이 구성은 모든 ℓ에 대해 1≤ℓ≤k에 대해 동시 Niven 성질을 강제하도록 확장될 수 있다(Corollary 7.1).
• 해당 방법은 여전히 명시적이다: ω_s = ord_{ms}(B)를 계산하고 n_s = sum_{j=0}^{s-1} B^{jω_s}를 구성한다.