[논문 리뷰] Simultaneous Ruin Probability for Two-Dimensional Brownian and Lévy Risk Models

Krzysztof Dȩbicki, Enkelejd Hashorva외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 11. 11.

Probability and Risk Models참고 문헌 15인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 상관된 브라운 운동을 갖는 이차원 브라운 리스크 모형에서 대규모 초깃금액을 가정할 때 동시 파산 확률과 파산 시간에 대한 渐近 근사식을 개발한다. 자기유사성과 극값 이론을 활용하여, 초깃금액이 무한히 증가할 때 尾행동에 대한 명시적 공식을 도출하며, 특히 완전 상관관계(ρ = 1)의 경우를 중심으로 분석한다. 이는 선형적으로 의존하는 스펙트르 양성 레비 과정(브라운 운동 및 감마 과정 포함)에 대해 해석 가능한 해를 가능하게 한다.

ABSTRACT

The ruin probability in the classical Brownian risk model can be explicitly calculated for both finite and infinite-time horizon. This is not the case for the simultaneous ruin probability in two-dimensional Brownian risk model. Resorting on asymptotic theory, we derive in this contribution approximations of both simultaneous ruin probability and simultaneous ruin time for the two-dimensional Brownian risk model when the initial capital increases to infinity. Given the interest in proportional reinsurance, we consider in some details the case where the correlation is 1. This model is tractable allowing for explicit formulas for the simultaneous ruin probability for linearly dependent spectrally positive Lévy processes. Examples include perturbed Brownian and gamma Lévy processes.

연구 동기 및 목표

• 두 포트폴리오가 브라운 운동을 통해 상관관계를 갖는 이차원 브라운 리스크 모형에서의 동시 파산 확률을 분석한다.
• 초깃금액 u가 무한히 증가할 때 동시 파산 확률에 대한 渐近 근사식을 유도한다.
• 분석을 동시 파산 시간으로 확장하고, 그 꼬리 행동에 대한 근사식을 제공한다.
• 완전 상관관계(ρ = 1)의 해석 가능한 경우를 조사하며, 선형적으로 의존하는 스펙트르 양성 레비 과정에 대해 명시적 공식을 도출한다.
• 의존성 하에서의 동시 파산을 분석함으로써 비례 재보험 모델에 대한 이론적 기초를 제공한다.

제안 방법

• 브라운 운동의 자기유사성을 활용하여 시간 범위를 [0,1]로 축소하고 매개변수를 정규화한다.
• 극값 이론과 渐近 분석을 적용하여, 두 상관된 브라운 운동이 선형 경계를 초과하는 연합 꼬리 확률을 근사한다.
• 시간에 따라 변형된 브라운 운동과 반사 원리를 기반으로 한 변환을 활용하여 경계와 근사식을 도출한다.
• 라플라스 변환 방법과 적분 표현을 활용하여 파산 확률의 渐近 행동을 계산한다.
• 선형 의존성에 의해 이元 문제로 축소함으로써 ρ = 1의 경우에 대해 명시적 공식을 유도한다.
• 가우시안 과정 극값 이론, 특히 고든 부등식과 최초 통과 시간 이론을 활용하여 의존성 있는 과정을 다룬다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초깃금액 u가 무한히 증가할 때, 이차원 브라운 리스크 모형에서의 동시 파산 확률은 어떻게 渐近 행동을 보이는가?
• RQ2 두 포트폴리오 간의 상관계수 ρ는 동시 파산 확률에 어떻게 영향을 미치는가? 특히 ρ = 1의 경우에 대해 설명하라.
• RQ3 두 리스크 과정이 선형적으로 의존하고 스펙트르 양성일 경우, 동시 파산 확률에 대한 명시적 공식을 도출할 수 있는가?
• RQ4 이차원 모형에서의 동시 파산 시간의 渐近 분포는 무엇인가?
• RQ5 프리미엄 수준 c₁ 및 c₂와 초깃금액 수준은 대편차 영역에서 동시 파산 확률에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• ρ = 1일 경우, 동시 파산 확률은 선형 의존성에 의해 이원 문제를 일원 문제로 축소함으로써 명시적 공식을 갖는다.
• a < ρ일 경우, 동시 파산 확률의 渐近 근사식은 2√(2π(1−ρ²)) exp((c₂−ρc₁)²/(2(1−ρ²)))로 주어지며, 이는 라플라스 변환 적분에서 유도된다.
• a = ρ일 경우, 근사식은 표준 정규 분포 함수를 포함한다: 2√(2π(1−ρ²)) exp((c₂−ρc₁)²/(2(1−ρ²))) Φ((c₁ρ−c₂)/√(1−ρ²)).
• 동시 파산 시간 τ_sim(u)는 P(u²(1−τ_sim(u)) > x | τ_sim(u) ≤ 1) → 1 as u → ∞ 를 만족하며, 이는 파산이 거의 항상 시간 1 근처에 발생함을 시사한다.
• 자기유사성과 시간 스케일링을 통해 파산 확률의 상한 및 하한 경계를 도출함으로써, 엄밀한 渐近 제어를 확보한다.
• 결과는 ρ = 1 조건 하에 선형적으로 의존하는 스펙트르 양성 레비 과정, 특히 브라운 운동 및 감마 과정으로 확장된다.