[논문 리뷰] Simultaneously recovering running cost and Hamiltonian in Mean Field Games system

Hongyu Liu, Shen Zhang|arXiv (Cornell University)|2023. 03. 23.

Statistical Mechanics and Entropy인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 경계 관측으로부터 실행 비용과 해밀토니안의 회복을 위한 역문제를 제시하며, 고차 변동 및 연속 선형화 전략을 활용해 경계 관찰 데이터로 고유 식별 가능성을 보인다.

ABSTRACT

We propose and study several inverse problems for the mean field games (MFG) system in a bounded domain. Our focus is on simultaneously recovering the running cost and the Hamiltonian within the MFG system by the associated boundary observation. There are several technical novelties that make the study intriguing and challenging. First, the MFG system couples two nonlinear parabolic PDEs with one moving forward and the other one moving backward in time. Second, there is a probability density constraint on the population distribution of the agents. Third, the simultaneous recovery of two coupling factors within the MFG system is technically far from being trivial. Fourth, we consider both cases that the running cost depends on the population density locally and non-locally, and the two cases present different technical challenges for the inverse problem study. We develop two mathematical strategies that can ensure the probability constraint as well as effectively tackle the inverse problems, which are respectively termed as high-order variation and successive linearisation. In particular, the high-order variation method is new to the literature, which demonstrates a novel concept to examine the inverse problems by non-negative inputs only. We believe the methods developed can find applications to inverse problems in other contexts.

연구 동기 및 목표

• 경계 관측을 포함한 MFG 시스템에 대한 역문제를 동기부여하고 형식화한다.
• 실행 비용 F와 해밀토니안 H를 회복하기 위한 고유 식별 가능성 결과를 확립한다.
• 역문제를 해결하는 동안 확률 밀도 제약을 강제하는 수학적 전략을 개발한다.
• F가 모집단 밀도 m에 대해 국소적 의존인지 비국소적 의존인지 모두를 고려한다.
• 질량 제약을 완화하여 F와 H를 동시에 회복할 수 있도록 한다.

제안 방법

• 밀도 제약이 있는 m를 가지는 역방향-정방향 비선형 포적 PDE 시스템으로 MFG 시스템을 모델링한다.
• 비음수 입력 및 확률 제약을 다루기 위해 고차 변동을 사용한다.
• 사소한 상태 또는 거의 특이 상태 주변에서 선형화된 방정식을 유도하기 위해 연속적 고차 선형화를 적용한다.
• F를 m에 대해 국소적이게 간주하거나 m에 대한 비국소적 적분 연산자로 간주하고 경계 데이터를 통해 F와 H를 회복한다.
• 입력(m0, ψ)에 대한 국소 잘 정의성 및 암시적 함수 정리를 활용하여 정합성 및 미분가능성을 확보한다.
• N_{F1,H1}(m0,ψ) = N_{F2,H2}(m0,ψ) 이면 κ1=κ2 및 F1=F2(비국소 F에 대해 커널 K1, K2와 동일한 결과를 보인다)를 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경계 관측으로부터 MFG 시스템의 실행 비용 F와 해밀토니안 H를 모두 고유하게 결정할 수 있는가?
• RQ2 모집단 밀도 m에 대한 확률 밀도 제약이 식별성에 어떤 영향을 미치며 역문제 도중 이를 만족하도록 하기 위한 기법은 무엇인가?
• RQ3 F가 m에 대해 국소적으로 의존하는 경우와 비국소적으로 의존하는 경우의 식별성 차이는 무엇인가?
• RQ4 밀도 제약에서 a=1에 제한하지 않고도 고차 변동과 선형화를 결합하여 여러 미지수를 동시에 복구할 수 있는가?

주요 결과

• 국소적으로 의존하는 F의 경우 경계 측정이 (F1,H1)과 (F2,H2) 두 쌍에서 일치하면 도메인 내에서 κ1=κ2 및 F1=F2가 성립한다.
• 비국소적 형태 F(x,m)=∫Ω K(x,y)m(y,t) dy인 경우 경계 데이터가 동일하면 κ1=κ2 및 K1=K2가 성립한다.
• 저자들은 확률 밀도 제약을 강제하고 역문제를 다루기 위해 고차 변동과 고차/연쇄 선형화의 두 가지 전략을 개발한다.
• 질량 제약 a를 1에서 (0,1]의 임의의 값으로 완화함으로써 F(국소 또는 비국소)와 H를 동시에 회복할 수 있다.
• 전방 지도에 대한 입력의 지역적 잘 정의성 및 해로컬 의존성의 해석 가능성을 보장하는 홀로몰로지적 의존성과 암시적 함수 정리를 확립한다.
• 이 방법들은 경계 데이터와 초기/말단 조건을 갖춘 경계가 있는 경계 Lipschitz 도메인 내에서 작동하도록 설계되어 있다.