[논문 리뷰] Sinc approximation of algebraically decaying functions

Dmytro Sytnyk|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 19.

Mathematical functions and polynomials참고 문헌 33인용 수 826

한 줄 요약

본 논문은 실수선에서의 sinc 보간을 대수적으로 감소하는 함수로 확장하고, Lambert W를 이용한 오차 추정과 수치 시연을 제공한다.

ABSTRACT

An extension of sinc interpolation on $\mathbb{R}$ to the class of algebraically decaying functions is developed in the paper. Similarly to the classical sinc interpolation we establish two types of error estimates. First covers a wider class of functions with the algebraic order of decay on $\mathbb{R}$. The second type of error estimates governs the case when the order of function's decay can be estimated everywhere in the horizontal strip of complex plane around $\mathbb{R}$. The numerical examples are provided.

연구 동기 및 목표

• R에서 대수적 감쇠를 갖는 함수에 클래식 sinc 보간을 확장한다.
• R에서의 대수적 감쇠와 R 주위 수평 스트립에서의 감쇠 두 가지 유형의 오차 추정 derive.
• Optimal한 스텝 크기 선택 및 오차 경계에 Lambert W 함수를 포함한다.
• 수렴 거동을 설명하기 위한 해석적 및 수치적 결과를 제공한다.

제안 방법

• sinc 보간 C_N{f,h}(x)=sum_{k=-N}^{N} f(kh) sinc(x/h - k).
• f ∈ H^1(D_d)이고 |f(x)| ≤ L/(1+|x|^α) (α>1)로 대수적 감쇠를 만족한다고 가정한다.
• Lambert W를 포함하는 오차 경계 E_N ~ (α^α (N+1)^{1-α})/((α-1)(π d)^α) [W(...)]^α 와 적절한 h를 도출한다.
• Lambert W를 이용해 이산화 오차와 절단 오차를 균형시키고 최적의 h를 얻어 (1.3) 및 관련 공식들을 얻는다.
• 스트립 D_d에서 해석적이며 감쇠 경계가 주어지는 함수에 대해 확장을 통해 대안적 오차 추정(정리 2.1)을 얻는다.
• 실용적인 h의 선택을 논의하고 bound에 알려진 N_1(f,D_d) 또는 L을 포함하는 상관관계의 코리올리(Corollaries)를 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대수적으로 감쇠하는 함수에 대해 sinc 보간을 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ2 함수 f가 R에서 대수적으로 감쇠하고 수평 스트립에서 해석적일 때의 결과 오차 경계는 어떻게 되는가?
• RQ3 이 설정에서 Lambert W 함수가 이산화 오차와 절단 오차를 최적으로 균형시키는 데 어떻게 사용될 수 있는가?
• RQ4 L과 α로 명시된 감쇠 경계가 있는 스트립에서 해석적일 때 이러한 경계는 어떻게 달라지는가?
• RQ5 실무에서 h를 선택하고 수치 실험을 통해 수렴을 검증하기 위한 저자들의 지침은 무엇인가?

주요 결과

• 정리 1.1은 α>1인 대수적으로 감쇠하는 f에 대해 2N+1 항 sinc 보간의 오차 경 Bound를 증명한다.
• 경계는 Lambert W를 포함하며 (N+1)^{1-α} log^α(N+1) 차수의 점근적 거동을 보여준다.
• Lambert W를 사용하여 이산화 및 절단 오차의 균형을 맞추는 (1.3)의 명시적 h 선택이 주어진다.
• Corollary 1.3은 h와 오차 상수를 구체적으로 맞춤화하기 위해 N_1(f,D_d)을 활용하는 경계의 변형을 제공한다.
• 정리 2.1은 대수적 감쇠 경계를 갖는 스트립에서 해석적인 함수에 대한 결과를 확장하고 관련 오차 경계(2.2) 및 (2.3)의 h를 제시한다.
• 수치 예시들은 수렴 거동을 보여주고 제안된 매개변수 선택의 효과를 입증한다.