[논문 리뷰] Single and Double Generator Bracket Formulations of Geophysical Fluids with Irreversible Processes

Christopher Eldred, François Gay–Balmaz|arXiv (Cornell University)|2018. 11. 28.

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics참고 문헌 3인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 점성 소산, 열전도, 상변화와 같은 비가역 과정을 포함하는 지구물리유체역학에서 단일 및 双생성자 브라켓 형식에 대한 체계적이고 변분적 기초를 제시한다. 열역학적 이동량을 사용하여 이러한 브라켓 구조를 열역학적으로 일관된 변분 원리로부터 유도함으로써, 첫 번째 및 두 번째 열역학 법칙이 자동으로 만족됨을 보장하며, 이는 이전의 형식을 통합하고 다성분, 다상, 완전 압축성 유체에 대한 메트리플렉틱(GENERIC) 시스템을 체계적으로 유도할 수 있게 한다.

ABSTRACT

The equations of reversible (inviscid, adiabatic) fluid dynamics have a well-known variational formulation based on Hamilton's principle and the Lagrangian, to which is associated a Hamiltonian formulation that involves a Poisson bracket structure. These variational and bracket structures underlie many of the most basic principles that we know about geophysical fluid flows, such as conservation laws. However, real geophysical flows also include irreversible processes, such as viscous dissipation, heat conduction, diffusion and phase changes. Recent work has demonstrated that the variational formulation can be extended to include irreversible processes and non-equilibrium thermodynamics, through the new concept of thermodynamic displacement. By design, and in accordance with fundamental physical principles, the resulting equations automatically satisfy the first and second law of thermodynamics. Irreversible processes can also be incorporated into the bracket structure through the addition of a dissipation bracket. This gives what are known as the single and double generator bracket formulations, which are the natural generalizations of the Hamiltonian formulation to include irreversible dynamics. Here the variational formulation for irreversible processes is shown to underlie these bracket formulations for fully compressible, multicomponent, multiphase geophysical fluids with a single temperature and velocity. Many previous results in the literature are demonstrated to be special cases of this approach. Finally, some limitations of the current approach (especially with regards to precipitation and nonlocal processes such as convection) are discussed, and future directions of research to overcome them are outlined.

연구 동기 및 목표

• 비가역 과정을 포함하는 지구물리유체역학에 대한 단일 및 이중 생성자 브라켓 형식을 원리적 기초에서 체계적으로 유도하는 것.
• 비가역 열역학을 통합한 동일한 변분 원리 아래에서 기존의 브라켓 형식(GENERIC, 단일 생성자 등)을 통합하는 것.
• 열역학적 이동량을 사용하여 유도된 방정식이 첫 번째 및 두 번째 열역학 법칙을 자동으로 만족하도록 보장하는 것.
• 다성분, 다상, 완전 압축성 유체의 복잡한 실제 지구물리유체역학에 대해 해밀턴형 브라켓 구조의 적용 범위를 확장하는 것.
• 현재 형식의 한계, 특히 단일 온도/속도 가정과 대류, 강수와 같은 미세구조 스케일 과정에 대한 해결책을 규명하고 개선하는 것.

제안 방법

• 열역학적 이동량을 통해 비가역 과정으로 확장된 하미르톤 원리에 기반한 변분 형식을 채택하여, 첫 번째 및 두 번째 열역학 법칙을 만족함을 보장한다.
• 라그랑주 변수에서 운동량 기반 변수로의 전환을 위해 변분 시스템에 레지오프 변환을 적용함으로써 해밀턴 브라켓 형식을 유도한다.
• 역행성 동역학의 포아송 브라켓과 비가역 과정의 소산 브라켓을 조합하여 단일 생성자 브라켓을 체계적으로 유도한다.
• 대칭적이고 양의 정부호인 소산 브라켓을 설정하여 카시미르 불변량을 유지하고 엔트로피 생성을 보장함으로써 이중 생성자(메트리플렉틱/GENERIC) 브라켓을 구성한다.
• 속도 기울기, 온도 기울기, 화학적 포텐셜 기울기와 같은 열역학적 힘에 기반하여 점성 응력, 열류, 확산류를 매개변수화하며, 선형 및 비선형 형태를 고려한다.
• 유도된 방정식이 단일 성분 및 다성분 유체에 대해 알려진 운동 방정식을 재현함으로써, 변분 시스템과 기존의 브라켓 형식([5, 29, 55] 등) 간의 동치성을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 지구물리유체역학에 대한 단일 및 이중 생성자 브라켓 형식은 비가역 과정을 포함하는 변분 원리에서 체계적으로 유도될 수 있는가?
• RQ2 열역학적 이동량을 어떻게 활용하여 유도된 방정식이 첫 번째 및 두 번째 열역학 법칙을 모두 만족하도록 보장할 수 있는가?
• RQ3 다성분, 다상, 완전 압축성 유체의 맥락에서 변분 형식과 기존의 브라켓 형식(GENERIC, 단일 생성자 브라켓 등) 간의 관계는 어떠한가?
• RQ4 모든 유체 성분에 대해 단일 온도 및 속도를 가정하는 것의 한계는 무엇이며, 향후 연구에서 어떻게 완화될 수 있는가?
• RQ5 현재의 순순한 소산 모델을 초월하여 대류 및 강수와 같은 미세구조 스케일 과정을 어떻게 브라켓 형식에 통합할 수 있는가?

주요 결과

• 열역학적 이동량을 포함한 변분 형식은 비가역 지구물리유체역학에 대한 단일 및 이중 생성자 브라켓 형식을 체계적이고 원리적 기초에서 도출할 수 있다.
• 유도된 브라켓 시스템은 열역학적 힘과 유량의 적절한 매개변수화를 통해 엔트로피 생성이 항상 비음이 아님을 보장함으로써 첫 번째 및 두 번째 열역학 법칙을 자동으로 만족한다.
• 이 프레임워크는 단일 성분 유체에 대해 나비에-스토크스-푸리에 방정식과, 열역학적 유량을 미세구조 난류 파arameterization으로 해석할 경우 [29]의 방정식을 재현한다.
• 유량이 힘에 선형적으로 의존할 경우, 이중 생성자(메트리플렉틱) 형식은 카시미르 불변량과 대칭 소산을 갖는 GENERIC 유사한 구조로 체계적으로 유도된다.
• 현재의 접근법은 모든 성분에 대해 단일 온도 및 속도를 가정하고 물질적으로 닫힌 시스템을 전제로 하므로, 강수 및 대류와 같은 비국소 과정의 처리에 한계가 있다.
• 향후 연구에서는 다중 온도 및 속도, 개방 경계, 화학 반응, 복사, SALT 및 난류 확산 계수 모델과 같은 고급 미세구조 모델을 포함하여 기억 효과 및 비국소 과정을 다룰 수 있도록 형식을 확장할 것이다.